A K/C. 828. feladat (2024. október)

K/C. 828. Van-e két olyan pozitív egész szám, amelyek négyzetösszege megegyezik a legkisebb közös többszörösükkel?

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. november 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje a két pozitív egész számot $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$. Tudjuk, hogy $\displaystyle [a;b] \leq ab$, így $\displaystyle a^2 + b^2 \leq ab$ kell teljesüljön. Továbbá igaz, hogy $\displaystyle a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab \geq 2ab$. Így aztán az $\displaystyle ab \geq a^2 + b^2 \geq 2ab$ feltételt kapjuk, ami csak $\displaystyle ab = 0$ esetén teljesülhet. Ekkor viszont $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ nem lehetne pozitív egész szám. Tehát nincs két olyan pozitív egész szám, melyek négyzetösszege megegyezik a legkisebb közös többszörösükkel.

Statisztika:

239 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	89 versenyző.
4 pontot kapott:	28 versenyző.
3 pontot kapott:	13 versenyző.
2 pontot kapott:	16 versenyző.
1 pontot kapott:	25 versenyző.
0 pontot kapott:	20 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	36 dolgozat.

A KöMaL 2024. októberi matematika feladatai