A K/C. 833. feladat (2024. november)

K/C. 833. Adott az ábra szerinti \(\displaystyle {20~\mathrm{cm}\times 30~\mathrm{cm}}\) méretű, téglalap alakú papírlap. Az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle C\) csúcsát egymásra hajtva a hajtásegyenes a téglalap \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) oldalait a \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) pontokban metszi. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle APCQ\) négyszög rombusz, és számoljuk ki a területét.

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás.

Az \(\displaystyle A\) csúcs \(\displaystyle C\) csúcsra hajtásakor a hajtásvonal merőlegesen felezi a \(\displaystyle K\) pontban az \(\displaystyle AC\) átlót, mert az \(\displaystyle APQD\) négyszöget \(\displaystyle PQ\)-ra tengelyesen tükrözve kapjuk a \(\displaystyle CPQD'\) négyszöget. Másrészt a \(\displaystyle K\) ponton átmenő \(\displaystyle PQ\) szakaszt is felezi a \(\displaystyle K\) pont, mert a téglalap középpontosan szimmetrikus négyszög. Így \(\displaystyle AKQ\), \(\displaystyle AKP\), \(\displaystyle CKP\) és \(\displaystyle CKQ\) egybevágó derékszögű háromszögek, mert a befogóik páronként egyenlő hosszúak. Ezért az átfogóik is egyenlő nagyságúak, azaz \(\displaystyle AQ=CQ=CP=AP\), tehát beláttuk, hogy az \(\displaystyle APCQ\) négyszög rombusz.

Legyen \(\displaystyle PB=x\), ekkor \(\displaystyle AP=PC=30-x\). A \(\displaystyle PCB\) derékszögű háromszögben felírva a Pitagorasz-tételt: \(\displaystyle x^2+20^2=(30-x)^2\), ahonnan \(\displaystyle x=25/3\), így a rombusz oldala \(\displaystyle 30-25/3=65/3\) cm hosszú, területe pedig \(\displaystyle T=65/3\cdot20=1300/3 \textrm{~cm}^2 \approx 433,33 \textrm{~cm}^2\).

Statisztika:

A K/C. 833. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2024. novemberi matematika feladatai