 |
A K/C. 838. feladat (2024. december) |
K/C. 838. Lehet-e \(\displaystyle 2024\) két prímszám négyzetének különbsége?
(5 pont)
A beküldési határidő 2025. január 10-én LEJÁRT.
1. megoldás. \(\displaystyle 2024 = 2^3\cdot11\cdot23\), a prímeket jelölje \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle q\).
\(\displaystyle p^2-q^2=2024,\)
\(\displaystyle (p+q)(p-q)=2024,\)
\(\displaystyle 2024=1\cdot2024=2\cdot1012=4\cdot506=8\cdot253=11\cdot184=22\cdot92=23\cdot88=44\cdot46.\)
Mivel \(\displaystyle p+q > p-q\), valamint \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle q\) biztosan páratlan prímek (\(\displaystyle q\) nem lehet 2), így az összegük és a különbségük is páros, így a 2024 lehetséges felbontása, illetve \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle q\) lehetséges értékei:
| \(\displaystyle p+q\) | 1012 | 506 | 92 | 46 |
| \(\displaystyle p-q\) | 2 | 4 | 22 | 44 |
| \(\displaystyle p\) | 507 | 255 | 57 | 45 |
| \(\displaystyle q\) | 505 | 251 | 35 | 1 |
Mivel egyik esetben sem kapunk prímszámokat, így beláttuk, hogy nem lehet két prímszám négyzetének különbsége 2024.
2. megoldás. A prímek között a 3 nem szerepel, mert \(\displaystyle 2024+3^2\) nem prímnégyzet.
Minden más prím 3-mal osztva 1 vagy 2 maradékot ad, ezért a négyzetük 3-mal osztva 1 maradékot ad. Két prímnégyzet különbsége így 3-mal osztható szám. A 2024 nem osztható 3-mal, így nem lehet két prímszám négyzetének a különbsége.
Statisztika:
A K/C. 838. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2024. decemberi matematika feladatai