A K/C. 838. feladat (2024. december)

K/C. 838. Lehet-e $\displaystyle 2024$ két prímszám négyzetének különbsége?

(5 pont)

A beküldési határidő 2025. január 10-én LEJÁRT.

1. megoldás. $\displaystyle 2024 = 2^3\cdot11\cdot23$, a prímeket jelölje $\displaystyle p$ és $\displaystyle q$.

$\displaystyle p^2-q^2=2024,$

$\displaystyle (p+q)(p-q)=2024,$

$\displaystyle 2024=1\cdot2024=2\cdot1012=4\cdot506=8\cdot253=11\cdot184=22\cdot92=23\cdot88=44\cdot46.$

Mivel $\displaystyle p+q > p-q$, valamint $\displaystyle p$ és $\displaystyle q$ biztosan páratlan prímek ($\displaystyle q$ nem lehet 2), így az összegük és a különbségük is páros, így a 2024 lehetséges felbontása, illetve $\displaystyle p$ és $\displaystyle q$ lehetséges értékei:

Mivel egyik esetben sem kapunk prímszámokat, így beláttuk, hogy nem lehet két prímszám négyzetének különbsége 2024.

2. megoldás. A prímek között a 3 nem szerepel, mert $\displaystyle 2024+3^2$ nem prímnégyzet.

Minden más prím 3-mal osztva 1 vagy 2 maradékot ad, ezért a négyzetük 3-mal osztva 1 maradékot ad. Két prímnégyzet különbsége így 3-mal osztható szám. A 2024 nem osztható 3-mal, így nem lehet két prímszám négyzetének a különbsége.

Statisztika:

214 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	98 versenyző.
4 pontot kapott:	37 versenyző.
3 pontot kapott:	12 versenyző.
2 pontot kapott:	18 versenyző.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	25 dolgozat.

A KöMaL 2024. decemberi matematika feladatai