A K/C. 847. feladat (2025. február)

K/C. 847. Hány olyan nemüres részhalmaza van az $\displaystyle \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\}$ halmaznak, amelyben a számok szorzata páros és a számok összege is páros?

(5 pont)

A beküldési határidő 2025. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A 9 elemű halmaznak $\displaystyle 2^{9}-1=511$ nemüres részhalmaza van. Mivel $\displaystyle 5$ páratlan szám van, ezért $\displaystyle 2^{5}-1=31$ olyan nemüres részhalmaz létezik, melyben minden elem páratlan, tehát ezen számok szorzata is páratlan.

Azokat a részhalmazokat keressük, melyekben páros sok páratlan szám van és legalább egy páros szám. A négy páros szám közül legalább egy páros számot $\displaystyle 2^{4}-1=15$-féleképpen választhatunk. Mindegyik választás esetén nulla darab páratlan számot $\displaystyle 1$-féleképpen, kettő páratlan számot $\displaystyle \displaystyle{\frac{5\cdot4}{2}=10}$-féleképpen, négy páratlan számot pedig 5-féleképpen választhatunk (az egyik páratlan számot nem választjuk ki). Így a keresett részhalmazok száma $\displaystyle 15\cdot(1+10+5)=240$.

Statisztika:

204 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	117 versenyző.
4 pontot kapott:	26 versenyző.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	12 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	23 dolgozat.

A KöMaL 2025. februári matematika feladatai