A K. 113. feladat (2007. január)

K. 113. Hány olyan 5-re végződő, különböző számjegyekből álló négyjegyű szám van, amely minden számjegyével osztható?

(6 pont)

A beküldési határidő 2007. február 15-én LEJÁRT.

Megoldás: A szám nem tartalmazhat páros számjegyet, hiszen nem páros. (0-t sem, mert 0-val pozitív szám nem osztható.) Számjegyei között tehát csak páratlan számjegyek szerepelhetnek. Mivel az öt lehetséges számjegyből csak egy marad ki, ezért a kapott szám biztosan osztható 3-mal (mert a 3 vagy a 9 szerepel a számjegyek között), tehát a számjegyek összegének oszthatónak kell lennie 3-mal. Az nem megfelelő, ha a 3 vagy a 9 marad ki, mert 5+7+1=13 nem osztható 3-mal. Tehát a 7 vagy az 1 marad ki. Ha a 7 marad ki, akkor az 1, 3, 5, 9 számjegyek összege 18, ami osztható 9-cel, így bármelyik ezekből készíthető, 5-re végződő szám osztható lesz 1, 3, 5, 9-cel. Ilyen számból 6 db van (az 1, 3, 9 tetszőleges sorrendben szerepelhet az első 3 helyen). Ha az 1 marad ki, akkor a 3, 5, 7, 9 számjegyekből állna a szám, de ezek összege nem osztható 9-cel. Tehát 6 db megfelelő négyjegyű szám van.

Statisztika:

164 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	117 versenyző.
5 pontot kapott:	5 versenyző.
4 pontot kapott:	20 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2007. januári matematika feladatai