 |
A K. 138. feladat (2007. október) |
K. 138. Egy tetszőleges, 3-nál nagyobb prímszám négyzetéből kivonunk 1-et. Melyik az a legnagyobb pozitív egész szám, amely biztosan osztója lesz az eredménynek?
(6 pont)
A beküldési határidő 2007. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás: Jelöljük a prímszámot p-vel, ekkor a feladatban leírtak szerint p2-1-et, azaz (p-1)(p+1)-et vizsgáljuk. Mivel p 3-mal osztva 1 vagy 2 maradékot ad, ezért a két tényező közül pontosan az egyik 3-mal osztható. A két tényező két egymást követő páros szám, melyek közül az egyik biztosan osztható 4-gyel, míg a másik biztosan nem osztható 4-gyel. Tehát a szorzat biztosan osztható 3-mal és 8-cal, azaz 24-gyel is. Ennél nagyobb számot nem tudunk mondani, mert p=5 esetén a kapott szám éppen 24.
Statisztika:
251 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: 54 versenyző. 5 pontot kapott: 25 versenyző. 4 pontot kapott: 7 versenyző. 3 pontot kapott: 9 versenyző. 2 pontot kapott: 23 versenyző. 1 pontot kapott: 30 versenyző. 0 pontot kapott: 91 versenyző. Nem versenyszerű: 12 dolgozat.
A KöMaL 2007. októberi matematika feladatai