A K. 206. feladat (2009. március)

K. 206. Pisti és Karcsi testvérek. Egy nap édesanyjuk a cukrászdából 8 db nagyobb, és 27 db kisebb mignont vitt haza. A nagyobb mignon alakja 3 cm oldalhosszúságú kocka, a kisebbé pedig 2 cm oldalhosszúságú kocka. Minden mignon 5-5 oldallapja cukormázzal van borítva azonos vastagságban, az aljukra nem tettek mázat. Karcsi és Pisti úgy szeretné elosztani a mignonokat, hogy mindkettőjüknek azonos össztérfogatú mignon jusson, mindketten kapjanak mindkét féléből, és abban is megegyeznek, hogy egyik mignont sem darabolják fel.

a) Mutassuk meg, hogy ilyen feltételekkel történő elosztás nem lehetséges.

b) Mivel látták, hogy tészta szerint nem tudják igazságosan elosztani a mignonokat, megállapodnak, hogy úgy osztják el a mignonokat, hogy mindkettőjüknek azonos mennyiségű cukormáz jusson. (Továbbra sem lehet feldarabolni egyik mignont sem, és mindkettőjüknek kell kapnia mindkét féléből.) Adjuk meg az összes megfelelő elosztási lehetőséget.

(6 pont)

A beküldési határidő 2009. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. a) A mignonok összes térfogata cm³-ben mérve 8^.27+27^.8=432, tehát a két fiúnak 216-216 cm³ mignont kéne kapnia igazságos osztozkodás esetén. Jelöljük a-val az egyik fiú által kapott kis mignonok számát, b-vel a nagyokét. Ekkor az általa kapott mignonok összes térfogatára a 8a+27b=216 egyenlőség teljesül. Mivel a 216 és a 8 is osztható 8-cal, valamint 27 és 8 relatív prímek, ezért b is osztható kell legyen 8-cal. Ez viszont azt jelentené, hogy az egyik fiú megkapja az összes nagy mignont, de ez nem megengedett. Tehát az említett feltételeknek megfelelő elosztás nem lehetséges.

b) Egy kis mignonon 5^.4=20 cm² cukormáz van, egy nagy mignonon pedig 5^.9=45 cm². Tehát az összes cukormáz mennyisége cm²-ben mérve 27^.20+8^.45=900, így egy fiúnak 450 cm² cukormázat kell kapnia. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük, hogy hány nagy mignont adunk, és mellé hány kicsit kell adnunk, hogy 450 cm² cukormáz legyen együttvéve a mignonokon. A nagy mignonok száma nem lehet páratlan, mert ekkor összesen páratlan cm² cukormázat adnánk velük, de a kis mignonokkal mindenképpen páros jár, hiszen egy kicsin 8 cm² máz van, de így összesen nem lehetne 450 cm² a cukormáz mennyisége. Továbbá a nagy mignonok száma nem lehet 8 egyik fiúnál sem, mert nem kapja meg az összeset.

Azt kaptuk tehát egyetlen lehetséges elosztásként, hogy az egyik fiú 2 nagy és 18 kicsi, a másik fiú 6 nagy és 9 kicsi mignont kap.

Statisztika:

114 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Antal Viktória, Borka Péter, Böröndy Áron, Csanády Bálint Zsombor, Diós Dániel, Gróf Gábor, Gujás István, Halász 423 Dániel, Hazafi Bettina, Juhász-Bóka Bernadett, Karádi 468 Dániel Tamás, Kasó Márton, Kis Attila Soma, Kovács 411 Ádám, Kovács Péter, Könye Viktor, Kővágó Zoltán, Kutas Áron, Ludas Dániel, Madarasi Adrienn, Major Attila, Nagy Zsuzsanna, Nánási József, Pogány László, Reskó Sándor, Rónaky Rebeka, Samu Viktor, Sándor Tímea, Sápi András, Serfőző Virág Fanni, Solti Bálint, Straubinger Dániel, Szigeti Tamás, Szőts Nóra, Tolnai Dániel, Ujhelyi Viktor, Várközi Patrícia, Veres Andrea, Vesztergombi Tamás, Vogronics Patrik, Wiszt Attila, Zagyva Dániel.
5 pontot kapott:	26 versenyző.
4 pontot kapott:	15 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	14 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

A KöMaL 2009. márciusi matematika feladatai