A K. 207. feladat (2009. március)

K. 207. Egy 14,4 m² alapterületű téglalap alakú folyosót egyforma téglalap alakú csempékkel raktak ki úgy, hogy hosszában haladva minden ötödik sorban derékszögben elfordítva tették le a csempéket. Így 15 sor csempét kellett lerakni, vágás nélkül. Később észrevették, hogy ha végig úgy teszik a csempéket, mint az ötödik sorokban van, akkor sem kell vágni, csak ekkor 18 sor kell. Milyen méretű csempékkel dolgozhattak, ha a csempék oldalai cm-ben egész számok?

(6 pont)

A beküldési határidő 2009. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel a második esetben kell több sor, így itt, és az első eset ötödik soraiban, a csempék rövidebb oldala néz a folyosó hosszabbik oldala felé, a továbbiakban mondjuk, hogy lefelé. Az első fajta lerakásnál 3 ilyen sor van, és 12, ahol a hosszabbik oldalak vannak lefelé, a második esetben 3+15 lefelé néző sor. Ezek alapján 12 hosszabb csempeoldal tesz ki 15 rövidebbet, tehát a csempe oldalainak aránya 5:4. A második fajta lerakásnál így egy sorban 4, 8 vagy 12 csempe lehet, hiszen néggyel oszthatónak kell lennie, hogy az elfordított csempékből is egész számú tegyen ki egy sort, de 16 már nem lehet, mert akkor nem lehetne az a folyosó rövidebb oldala.

Jelölje a a csempe rövidebb oldalának hosszát.

Ha 4 db van egy sorban, akkor a folyosó területe , ahonnan a²=0,16 m², azaz a=40 cm, b=50 cm.

Ha 8 db van egy sorban, akkor a folyosó területe , ahonnan a²=0,08 m², ekkor az oldalak nem egész számok.

Ha 12 db van egy sorban, akkor a folyosó területe , ebből sem kapunk egész megoldásokat.

Statisztika:

87 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Budafoki Dóra, Csanády Bálint Zsombor, Diós Dániel, Félegyházi Dávid, Gróf Gábor, Halász 423 Dániel, Juhász-Bóka Bernadett, Kasó Márton, Kovács 411 Ádám, Kovács Péter, Laczkó Zoltán Balázs, Lencz András, Madarasi Adrienn, Nagy 014 Gergely, Nagy Olivér, Nánási József, Rónaky Rebeka, Samu Viktor, Serfőző Virág Fanni, Sóvári Gergely, Straubinger Dániel, Szőts Nóra, Veres Andrea, Zagyva Dániel.
5 pontot kapott:	Bauer Barbara, Böröndy Áron, Kovács Flóra, Könye Viktor, Sándor Tímea, Tolnai Dániel.
4 pontot kapott:	20 versenyző.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	13 dolgozat.

A KöMaL 2009. márciusi matematika feladatai