 |
A K. 208. feladat (2009. március) |
K. 208. a) Egy koordinátarendszerben megrajzoltuk az origó középpontú, 5 egység sugarú kört. Hány rácspont esik erre a körvonalra? (Rácspontnak nevezzük azokat a pontokat, melyeknek mindkét koordinátája egész szám.)
b) Adjunk meg olyan r egész értéket, melyre az origó középpontú, r sugarú körvonalon több, mint 14 rácspont található. Mutassuk is meg, hogy a megadott r érték eleget tesz a feltételnek.
(6 pont)
A beküldési határidő 2009. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás. a) Mivel 52=32+42, és a 25 másképp nem írható fel két pozitív egész négyzetének összegeként, így a megfelelő pontok: (5,0), (0,5), (-5,0), (0-5), (3,4), (4,3), (-3,4), (-4,3), (-3,-4), (-4,-3), (4,-3), (3,-4).Így a rácspontok száma 4+4.2=12.
b) Egy origó középpontú, r sugarú körön található rácspontok száma 4+4.2.k=4+8k, ahol k az r2 két nemnulla négyzetszám összegére való felbontásainak a száma. Ha ez 14-nél nagyobb, akkor a legkisebb megfelelő szám a 20. Ehhez egy olyan r sugár kell, melyet kétféleképpen is fel tudunk bontani két négyzetszám összegére. Induljunk ki például a következő két egyenletből:
| (1) | 32+42=52, |
| (2) | 52+122=132. |
Az elsőt szorozzuk meg 132-nel, a másodikat pedig 52-nel (vagyis egymás "jobb oldalával"):
| (1') | (3.13)2+(4.13)2=(5.13)2, |
| (2') | (5.5)2+(12.5)2=(5.13)2. |
Azt kaptuk, hogy 652=392+522=252+602. Tehát a 65 megfelelő lesz.
Statisztika:
107 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Antal Viktória, Bauer Barbara, Bende Lilla, Diós Dániel, Falvai András Ádám, Fazekas Gábor László, Gróf Gábor, Gujás István, Halász 423 Dániel, Hazafi Bettina, Juhász-Bóka Bernadett, Karádi 468 Dániel Tamás, Kasó Márton, Kaszás Valér, Kovács 998 András, Kovács Flóra, Kovács Péter, Kovalcsik Anna, Könye Viktor, Kővágó Zoltán, Laczkó Zoltán Balázs, Márki Gabriella, Nagy 014 Gergely, Nagy Olivér, Nagy Zsuzsanna, Nánási József, Pető Éva Vivien, Pizág Bertalan, Rónaky Rebeka, Rózsa Petra, Samu Viktor, Sápi András, Solti Bálint, Straubinger Dániel, Szigeti Bertalan György, Szigeti Tamás, Táczi István, Tarjáni Ariella Janka, Tolnai Dániel, Ujhelyi Viktor, Vámi Tamás Álmos, Veres Andrea, Vesztergombi Tamás, Wiszt Attila, Zagyva Dániel, Zolcsák Ádám. 5 pontot kapott: 6 versenyző. 4 pontot kapott: 4 versenyző. 3 pontot kapott: 4 versenyző. 2 pontot kapott: 25 versenyző. 1 pontot kapott: 10 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző. Nem versenyszerű: 7 dolgozat.
A KöMaL 2009. márciusi matematika feladatai