 |
A K. 220. feladat (2009. október) |
K. 220. Keressük meg az összes olyan (nem feltétlenül különböző) pozitív egész számból álló számötöst, amelyek összege egyenlő a szorzatukkal.
(6 pont)
A beküldési határidő 2009. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Mivel \(\displaystyle a\cdot b=\underbrace{b+b + \dots b}_a\), ezért minden szám legfeljebb \(\displaystyle 5\) lehet. Jelöljük a keresett ötösök számait \(\displaystyle a\le b\le c\le d\le e\)-vel! Mivel \(\displaystyle abcde=a+b+c+d+e\le 5e\), ezért \(\displaystyle abcd \le 5\), amiből -tekintve, hogy pozitív egészek szorzatáról van szó- az \(\displaystyle 1,1,1,1\), \(\displaystyle 1, 1, 1, 2\), \(\displaystyle 1, 1, 1, 3\), \(\displaystyle 1, 1, 2, 2\) és az \(\displaystyle 1,1,1,4\) számnégyest kell bővíteni.(Az 1,1,1,5 nem jó, mert akkor \(\displaystyle e=5\), a szorzat 25, az összeg 13.) Módszeresen keresve -a feltételekbe helyettesítve- rendre az \(\displaystyle e=4+e\), \(\displaystyle 2e=e+5\), \(\displaystyle 4e=6+e\), \(\displaystyle 3e=6+e\) és a \(\displaystyle 4e=7+e\) egyenletek pozitív egész megoldásait keressük. Ha léteznek jó megoldások, akkor azokkal jó számötöst kapunk, melyek adják a feladat összes jó megoldását. Ezek a következők:
\(\displaystyle (1, 1, 1, 2, 5),\quad (1, 1, 2, 2, 2),\quad (1, 1, 1, 3, 3).\)
Statisztika:
206 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Bingler Arnold, Bogár Péter, Bogye Balázs, Bor Julianna, Drávay Zorka, Énekes Tamás, Fehér Máté, Gábriel Anna, Gyurcsik Dóra, Herendi Orsolya, Homolya Péter, Horváth 0102 Dániel, Károly Péter Balázs, Kelemen Bendegúz, Kovács 994 Bence, Molnár Vivien, Nagy 021 Tibor, Németh Márton, Szabó Gergely Tamás, Szkalisity Ábel, Takács Márton, Thamó Emese, Tragor Márton, Ványi Richárd Mihály, Végh Dávid András. 5 pontot kapott: Dankovics Viktor, Erdélyi Vivien, Haász Zsombor, Katona 100 Bálint, Leitereg András, Németh 722 Noémi, Pintér 403 Gabriella, Rábóczki Bettina, Székely Mátyás, Szekér István, Tóth Márton, Varga 149 Imre Károly, Vecsernyés Tamás, Wiandt Zsófia, Zentai Péter, Zieger Barna. 4 pontot kapott: 24 versenyző. 3 pontot kapott: 39 versenyző. 2 pontot kapott: 24 versenyző. 1 pontot kapott: 56 versenyző. 0 pontot kapott: 10 versenyző. Nem versenyszerű: 12 dolgozat.
A KöMaL 2009. októberi matematika feladatai