A K. 224. feladat (2009. december)

K. 224. Az asztalon hatoldalú és négyoldalú ,,dobókockák'' (kockák és tetraéderek) vannak. A hatoldalú dobókockák oldalain a pöttyözéses számozás 1--6-ig, a négyoldalúakén 1--4-ig tart. A ,,dobókockákon'' levő összes pötty száma 323. Ha annyi négyoldalú ,,dobókockánk'' lenne, mint amennyi hatoldalú van, és annyi hatoldalú lenne, mint amennyi négyoldalú van, akkor a ,,dobókockákon'' levő összes pöttyök száma 185 lenne. Hány négy- és hány hatoldalú ,,dobókockánk'' van?

(6 pont)

A beküldési határidő 2010. január 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Egy dobókockán összesen $\displaystyle 21$ pötty van és $\displaystyle h$ darab dobókockánk van. A ,,dobótetraéderek'' mindegyikén $\displaystyle 10$ pötty van, a számuk $\displaystyle t$. A pöttyök száma összesen $\displaystyle 21h+10t=314$, a megfordított szituációban $\displaystyle 10h+21t=182$. A két egyenlet különbségének 11-ed részéből $\displaystyle h-t=12$, azaz $\displaystyle h=12+t$. Pl. az első összefüggésbe visszahelyettesítve $\displaystyle 252+21t+10t=314$, amiből $\displaystyle t=2$ és $\displaystyle h=14$. $\displaystyle \mathbf{14}$ dobókockánk és $\displaystyle \mathbf{2}$ dobótetraéderünk van.

Statisztika:

133 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	93 versenyző.
5 pontot kapott:	21 versenyző.
4 pontot kapott:	6 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

A KöMaL 2009. decemberi matematika feladatai