A K. 228. feladat (2009. november)

K. 228. Egy téglatest testátlójának hossza , ahol egy négyjegyű szám. A három különböző él hossza három egymást követő páratlan szám. Mekkorák a téglatest élei?

(6 pont)

A beküldési határidő 2009. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyenek a téglatest éleinek hosszai \(\displaystyle a=b-2\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c=b+2\). Az élekkel a testátló hossza térbeli Pithagoras-tétel szerint \(\displaystyle (b-2)^2 + b^2 + (b+2)^2=3b^2 + 8= \sqrt{\overline{\alpha \alpha \alpha \alpha}}= 1111\cdot \alpha\) a feladat szerint. Mivel a feladat szerint \(\displaystyle b\) páratlan, ezért \(\displaystyle 3b^2 + 8\) is páratlan, ezért \(\displaystyle \alpha\) is az. A \(\displaystyle 3b^2 + 8= 1111\cdot \alpha\) egyenletet vizsgáljuk. Mindkét oldalt 11-gyel csökkentve \(\displaystyle 3b^2 - 3 = 3(b-1)(b+1)=11(101\alpha - 1)\) szerint a jobb oldal osztható \(\displaystyle 3\cdot 4=12\)-vel, azaz \(\displaystyle 101\alpha - 1\) osztható 12-vel. E szerint \(\displaystyle \alpha\) nem \(\displaystyle 3\) és \(\displaystyle 9\) (mert akkor \(\displaystyle 101\alpha -1\) nem osztható \(\displaystyle 3\)-mal). Az \(\displaystyle \alpha\) tehát csak \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 5\) vagy \(\displaystyle 7\) lehet. Ezeket kipróbálva csak a második esetben lesz a vizsgált különbség osztható \(\displaystyle 12\)-vel. Ekkor tehát \(\displaystyle \alpha=5\), \(\displaystyle b=43\), amiből \(\displaystyle a=41\) és \(\displaystyle c=45\).

Statisztika:

158 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	105 versenyző.
5 pontot kapott:	12 versenyző.
4 pontot kapott:	8 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	12 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.

A KöMaL 2009. novemberi matematika feladatai