A K. 228. feladat (2009. november)

K. 228. Egy téglatest testátlójának hossza , ahol egy négyjegyű szám. A három különböző él hossza három egymást követő páratlan szám. Mekkorák a téglatest élei?

(6 pont)

A beküldési határidő 2009. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyenek a téglatest éleinek hosszai $\displaystyle a=b-2$, $\displaystyle b$ és $\displaystyle c=b+2$. Az élekkel a testátló hossza térbeli Pithagoras-tétel szerint $\displaystyle (b-2)^2 + b^2 + (b+2)^2=3b^2 + 8= \sqrt{\overline{\alpha \alpha \alpha \alpha}}= 1111\cdot \alpha$ a feladat szerint. Mivel a feladat szerint $\displaystyle b$ páratlan, ezért $\displaystyle 3b^2 + 8$ is páratlan, ezért $\displaystyle \alpha$ is az. A $\displaystyle 3b^2 + 8= 1111\cdot \alpha$ egyenletet vizsgáljuk. Mindkét oldalt 11-gyel csökkentve $\displaystyle 3b^2 - 3 = 3(b-1)(b+1)=11(101\alpha - 1)$ szerint a jobb oldal osztható $\displaystyle 3\cdot 4=12$-vel, azaz $\displaystyle 101\alpha - 1$ osztható 12-vel. E szerint $\displaystyle \alpha$ nem $\displaystyle 3$ és $\displaystyle 9$ (mert akkor $\displaystyle 101\alpha -1$ nem osztható $\displaystyle 3$-mal). Az $\displaystyle \alpha$ tehát csak $\displaystyle 1$, $\displaystyle 5$ vagy $\displaystyle 7$ lehet. Ezeket kipróbálva csak a második esetben lesz a vizsgált különbség osztható $\displaystyle 12$-vel. Ekkor tehát $\displaystyle \alpha=5$, $\displaystyle b=43$, amiből $\displaystyle a=41$ és $\displaystyle c=45$.

Statisztika:

158 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	105 versenyző.
5 pontot kapott:	12 versenyző.
4 pontot kapott:	8 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	12 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.

A KöMaL 2009. novemberi matematika feladatai