A K. 229. feladat (2009. december)

K. 229. Egy adott AB szakaszt kellene szerkesztéssel harmadolni. A szakasz mindkét végéhez 30^o-os szöget szerkesztünk, a két új szár a C pontban metszi egymást. Ezután megszerkesztjük az AC és a BC szakaszok felezőmerőlegeseit. Mutassuk meg, hogy ezek az egyenesek az AB szakaszt három egyenlő részre osztják.

(6 pont)

A beküldési határidő 2010. január 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Az ábrán a kérdéses pontokat $\displaystyle D$-vel és $\displaystyle E$-vel jelöltük.

Mivel $\displaystyle D$ a felezőmerőleges pontja, ezért $\displaystyle AD=CD$. Hasonlóan $\displaystyle BE=CE$. Ekkor nem csak $\displaystyle A$-nál és $\displaystyle B$-nél van $\displaystyle 30^\circ$, hanem $\displaystyle ACD\angle$ és $\displaystyle BCE\angle$ is $\displaystyle 30^\circ$-os, ami alapján belátható, hogy $\displaystyle CDE$ háromszög minden szöge $\displaystyle 60^\circ$, azaz szabályos. Ez azt is jelenti, hogy valóban $\displaystyle AD=DE=EB$.

Statisztika:

167 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	57 versenyző.
5 pontot kapott:	34 versenyző.
4 pontot kapott:	25 versenyző.
3 pontot kapott:	16 versenyző.
2 pontot kapott:	13 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	12 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2009. decemberi matematika feladatai