 |
A K. 229. feladat (2009. december) |
K. 229. Egy adott AB szakaszt kellene szerkesztéssel harmadolni. A szakasz mindkét végéhez 30o-os szöget szerkesztünk, a két új szár a C pontban metszi egymást. Ezután megszerkesztjük az AC és a BC szakaszok felezőmerőlegeseit. Mutassuk meg, hogy ezek az egyenesek az AB szakaszt három egyenlő részre osztják.
(6 pont)
A beküldési határidő 2010. január 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Az ábrán a kérdéses pontokat \(\displaystyle D\)-vel és \(\displaystyle E\)-vel jelöltük.
Mivel \(\displaystyle D\) a felezőmerőleges pontja, ezért \(\displaystyle AD=CD\). Hasonlóan \(\displaystyle BE=CE\). Ekkor nem csak \(\displaystyle A\)-nál és \(\displaystyle B\)-nél van \(\displaystyle 30^\circ\), hanem \(\displaystyle ACD\angle\) és \(\displaystyle BCE\angle\) is \(\displaystyle 30^\circ\)-os, ami alapján belátható, hogy \(\displaystyle CDE\) háromszög minden szöge \(\displaystyle 60^\circ\), azaz szabályos. Ez azt is jelenti, hogy valóban \(\displaystyle AD=DE=EB\).
Statisztika:
167 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: 57 versenyző. 5 pontot kapott: 34 versenyző. 4 pontot kapott: 25 versenyző. 3 pontot kapott: 16 versenyző. 2 pontot kapott: 13 versenyző. 1 pontot kapott: 8 versenyző. 0 pontot kapott: 12 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2009. decemberi matematika feladatai