 |
A K. 230. feladat (2009. december) |
K. 230. A Számtalan utcában az utca két oldalán egyforma telkek sorakoznak. A páratlan oldal teljesen beépült, minden telekre egy házat építettek, de a páros oldalon egymás mellett van még néhány telek, amire nem épült még ház, viszont az első telekre mindjárt kettő is. A tulajdonosok elhatározták, hogy együtt fogják megvenni a házszámokat. Egy számjegy ára 50 Ft, és összesen 4250 Ft-ot költöttek a számjegyekre, a páratlan oldalon álló házakéra 550 Ft-tal többet, mint a másikra. A páratlan oldalon babonából nem az egyes, hanem a hármas számmal kezdődött a számozás, a páros oldal első telkén álló két ház pedig megkapta a 2-es és 4-es házszámot is. A páros oldal üres telkein álló majdani házaknak nem vettek számot, de a házak beszámozásánál figyelembe vették, hogy ott is fognak majd házak épülni, ezek sorszámait nem adták ki másoknak. Mennyi a páratlan oldalon a legnagyobb házszám, és hány házat lehet még építeni a páros oldalra?
(6 pont)
A beküldési határidő 2010. január 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Összesen 85 számjegyet vettek, a páratlan oldalra 11-gyel többet, mint a páros oldalra. Az összes számjegy darabszámából kivonva 11-et és a kapott értéket osztva 2-vel megkapjuk a páros oldalra vásárolt számjegyek számát, ami 37, így 48 számjegyet vettek a páratlan oldalra. Összeszámolva a számjegyeket, 3-tól 9-ig négy, majd a maradék 44 számjegyet a 11-től kezdve 22 darab páratlan kétjegyű számra tudjuk kiosztani, így a legnagyobb szám a páratlan oldalon 53. Mivel a páros oldal első két telkére két ház épült, és a páratlan oldalon az egyes szám kimaradt, ezért a 3-as házzal szemben a 2 és 4, az 5-ös házzal szemben a 6-os, stb., az 53-as házzal szemben az 54-es van. Emiatt a páros oldalra nem 48, hanem 50 számjegy kell a házszámokhoz, így innen összesen 13 számjegy hiányzik. Ez csak úgy lehetséges, hogy páratlan darab egyjegyű szám hiányzik, de mivel a 2 és a 4 fel lett használva, ez csak úgy lehetséges, hogy egyedül a 8, és az őt követő hat kétjegyű szám maradt ki. Így az utcába hét házat lehet még építeni.
Statisztika:
159 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: 54 versenyző. 5 pontot kapott: 20 versenyző. 4 pontot kapott: 27 versenyző. 3 pontot kapott: 15 versenyző. 2 pontot kapott: 19 versenyző. 1 pontot kapott: 12 versenyző. 0 pontot kapott: 6 versenyző. Nem versenyszerű: 6 dolgozat.
A KöMaL 2009. decemberi matematika feladatai