A K. 232. feladat (2009. december)

K. 232. Az ABCD paralelogramma BC oldalának felezőpontja E, CD oldalának felezőpontja F. A BD átlót az AE egyenes P-ben, az AF egyenes Q-ban metszi. Hogyan aránylik egymáshoz az APQ és az AEF háromszögek területe?

(6 pont)

A beküldési határidő 2010. január 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel egy paralelogramma átlói felezik egymást, ezért $\displaystyle ABC\triangle$-ben $\displaystyle P$ súlypont, ugyanígy $\displaystyle ACD\triangle$-ben $\displaystyle Q$ súlypont. Jelölje az átlók metszéspontját $\displaystyle M$, a $\displaystyle BD$ átló felének hosszát pedig $\displaystyle x$. Ekkor $\displaystyle DQ=2/3 x=PB$ és $\displaystyle QM=1/3x=MP$, vagyis $\displaystyle QP=2/3 x$: $\displaystyle P$ és $\displaystyle Q$ az átló harmadolópontjai. A $\displaystyle BCD$ háromszögben $\displaystyle EF$ középvonal, így $\displaystyle FE$ párhuzamos $\displaystyle BD$-vel és fele olyan hosszú azaz hossza $\displaystyle x$. Az $\displaystyle APQ$ és $\displaystyle AEF$ háromszögek (középpontosan) hasonlóak, a hasonlóság aránya $\displaystyle \frac{PQ}{EF}=\frac{2/3 x}{x}=\frac 23$. A területek aránya a hasonlóság arányának négyzete, azaz $\displaystyle \mathbf{\frac 49}$.

Statisztika:

121 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Békési Zsuzsanna, Bingler Arnold, Bogye Balázs, Déri Tamás, Dóka Tamás, Erdélyi Vivien, Gábriel Anna, Girst Gábor, Gyenese Vivien, Gyurcsik Dóra, Heimann Gergő, Homolya Péter, Horváth 0102 Dániel, Horváth 424 Orsolya, Jenei Márk, Jezeri Sarolta, József Anna, Károly Péter Balázs, Katona 100 Bálint, Kovács 555 Dániel, Kovács 737 Ármin, Kovács 994 Bence, Kövér Patrik, Leitereg András, Majzik Dávid Gábor, Matos Bence, Molnár Ákos, Molnár Vivien, Nagy 021 Tibor, Nagy 224 Réka, Németh Márton, Pilinszki - Nagy Csongor, Pintér 403 Gabriella, Sárközy Kristóf, Székely Mátyás, Sztojka Emma Hella, Takács Márton, Tóth Endre, Ványi Richárd Mihály, Vecsernyés Tamás, Végh Dávid András.
5 pontot kapott:	17 versenyző.
4 pontot kapott:	17 versenyző.
3 pontot kapott:	16 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.
Nem versenyszerű:	11 dolgozat.

A KöMaL 2009. decemberi matematika feladatai