A K. 234. feladat (2009. december) |
K. 234. Egy adott kerületű téglalap mindegyik oldalára kifelé négyzeteket rajzolunk. Hogyan válasszuk meg a téglalap oldalait, hogy az így kapott tizenkétszög területe minimális legyen?
(6 pont)
A beküldési határidő 2010. január 11-én LEJÁRT.
Megoldás. A téglalap oldalainak hossza legyen \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\), a kerülete állandó: \(\displaystyle 2a+2b=2(a+b)\), tehát \(\displaystyle a+b=s\) is állandó, amiből pl. \(\displaystyle b=s-a\). A területek összege \(\displaystyle 2a^2 + 2(s-a)^2 + a(s-a)= 3a^2- 3sa +2s^2=3(a-\frac 12 s)^2 + \frac 54 s^2\). Ez az összeg egy nemnegatív és egy pozitív tagból áll, ami akkor lesz a legkisebb, ha a nemnegatív tag \(\displaystyle 0\), azaz \(\displaystyle (a-\frac 12 s)=0\). Tehát a tizenkétszög területe akkor lesz minimális, ha a téglalap oldalai \(\displaystyle a=b=\frac 12 s\), vagyis a téglalap egy adott kerületű négyzet.
Statisztika:
144 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: 62 versenyző. 5 pontot kapott: 4 versenyző. 4 pontot kapott: 9 versenyző. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 14 versenyző. 0 pontot kapott: 44 versenyző. Nem versenyszerű: 9 dolgozat.
A KöMaL 2009. decemberi matematika feladatai