A K. 262. feladat (2010. október)

K. 262. A ,,Hurrá nyaralunk'' Kemping bejárata közvetlenül egy egyenes út mellett található, a ,,Végrenyárvan'' Ifjúsági Tábor bejárata pedig az úttól 300 méterre van. A két bejárat távolsága légvonalban 500 méter. Egy büfét akarnak építeni közvetlenül az út mellé úgy, hogy egyenlő távolságra legyen a kemping és a tábor bejáratától is. Hová építsék a büfét?

(6 pont)

A beküldési határidő 2010. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A kemping bejáratát jelöljük \(\displaystyle K\)-val, a tábor bejáratát \(\displaystyle T\)-vel, az út azon pontját, ami legközelebb van \(\displaystyle T\)-hez \(\displaystyle T\ '\)-vel, a büfé helyét pedig \(\displaystyle B\)-vel egy térképen. \(\displaystyle KT\ 'T\) derékszögű háromszöget alkot, Pithagorasz tétele szerint \(\displaystyle KT\ '=\sqrt{500^2-300^2}=400\). A feladat szerint \(\displaystyle KB=BT\), továbbá legyen \(\displaystyle BT\ '=x\) (\(\displaystyle x<400\), megengedve, hogy x<0 esetén \(\displaystyle B\)-t és \(\displaystyle K\)-t a \(\displaystyle TT\ '\) egyenese által meghatározott különböző félsíkok tartalmazzák). Ekkor \(\displaystyle BT\ 'T\) derékszögű háromszögben Pithagorasz tétele szerint \(\displaystyle 400-x=KB=BT\sqrt{x^2+300^2}\). Az egyenlet két (pozitív) oldalának négyzetei \(\displaystyle 160000-800x+x^2=90000+x^2\), ahonnan \(\displaystyle x=87,5\). A büfét a kemping bejáratától 312,5 méterre a tábor felé kell megépíteni az út mellett.

Statisztika:

340 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	190 versenyző.
5 pontot kapott:	11 versenyző.
4 pontot kapott:	2 versenyző.
3 pontot kapott:	15 versenyző.
2 pontot kapott:	62 versenyző.
1 pontot kapott:	34 versenyző.
0 pontot kapott:	16 versenyző.
Nem versenyszerű:	10 dolgozat.

A KöMaL 2010. októberi matematika feladatai