A K. 272. feladat (2010. december)

K. 272. Az ABC derékszögű háromszög AB átfogóján felvettünk egy P pontot úgy, hogy AC=AP. Az AP szakaszon felvettünk egy Q pontot, amelyre . Igazoljuk, hogy CQB egyenlőszárú háromszög.

(6 pont)

A beküldési határidő 2011. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük az \(\displaystyle A\) csúcsnál levő szöget \(\displaystyle \alpha\)-val és számoljuk ki a szögeket. Az \(\displaystyle APC\triangle\) egyenlőszárú a feladat szerint, csúcssöge \(\displaystyle \alpha\), ezért \(\displaystyle APC\angle = 90^\circ - \frac\alpha 2\). \(\displaystyle PCQ\triangle\)-ben \(\displaystyle PQC\angle=180^\circ-(45^\circ + 90^\circ - \frac\alpha 2)=45^\circ + \frac\alpha 2\). Ez a szög az egyik külső szöge \(\displaystyle QCA\triangle\)-nek, ezért \(\displaystyle QCA\angle=45^\circ + \frac\alpha 2 - \alpha=45^\circ - \frac\alpha 2\). \(\displaystyle QCB\angle\) az előző szög pótszöge, azaz \(\displaystyle QCB\angle=45^\circ + \frac\alpha 2\). Mivel a \(\displaystyle BCQ\triangle\)-ben a \(\displaystyle C\)-nél és a \(\displaystyle Q\)-nál levő szög megegyezik, ezért a \(\displaystyle BCQ\triangle\) egyenlőszárú.

Statisztika:

185 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	119 versenyző.
5 pontot kapott:	18 versenyző.
4 pontot kapott:	8 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	20 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.

A KöMaL 2010. decemberi matematika feladatai