A K. 272. feladat (2010. december)

K. 272. Az ABC derékszögű háromszög AB átfogóján felvettünk egy P pontot úgy, hogy AC=AP. Az AP szakaszon felvettünk egy Q pontot, amelyre . Igazoljuk, hogy CQB egyenlőszárú háromszög.

(6 pont)

A beküldési határidő 2011. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük az $\displaystyle A$ csúcsnál levő szöget $\displaystyle \alpha$-val és számoljuk ki a szögeket. Az $\displaystyle APC\triangle$ egyenlőszárú a feladat szerint, csúcssöge $\displaystyle \alpha$, ezért $\displaystyle APC\angle = 90^\circ - \frac\alpha 2$. $\displaystyle PCQ\triangle$-ben $\displaystyle PQC\angle=180^\circ-(45^\circ + 90^\circ - \frac\alpha 2)=45^\circ + \frac\alpha 2$. Ez a szög az egyik külső szöge $\displaystyle QCA\triangle$-nek, ezért $\displaystyle QCA\angle=45^\circ + \frac\alpha 2 - \alpha=45^\circ - \frac\alpha 2$. $\displaystyle QCB\angle$ az előző szög pótszöge, azaz $\displaystyle QCB\angle=45^\circ + \frac\alpha 2$. Mivel a $\displaystyle BCQ\triangle$-ben a $\displaystyle C$-nél és a $\displaystyle Q$-nál levő szög megegyezik, ezért a $\displaystyle BCQ\triangle$ egyenlőszárú.

Statisztika:

185 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	119 versenyző.
5 pontot kapott:	18 versenyző.
4 pontot kapott:	8 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	20 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.

A KöMaL 2010. decemberi matematika feladatai