A K. 276. feladat (2010. december)

K. 276. Adott nyolc háromjegyű szám, amelyeket kettesével egymás mellé írva hatjegyű számokat készítünk az összes lehetséges módon. Azt tapasztaljuk, hogy minden esetben találunk 7-tel osztható hatjegyű számot. Miért?

(6 pont)

A beküldési határidő 2011. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Egy számot 7-tel osztva 7 különböző maradékot kaphatunk, ezért a nyolc szám között - a skatulya-elv szerint - biztosan van két olyan, melyek 7-tel osztva ugyan azt a maradékot adják ($\displaystyle p$-t): legyenek $\displaystyle N=7k+p$ és $\displaystyle M=7l+p$. Ekkor egymás után írva $\displaystyle 1000N+M$ vagy $\displaystyle 1000M+N$ lesz a kapott hatjegyű szám értéke. A 7-tel való oszthatóság szerint vizsgálva pedig $\displaystyle (143\cdot 7 -1)(7k+p)+(7l+p)=7000k+1001p+7l$ vagy $\displaystyle (143\cdot 7 -1)(7l+p)+(7k+p)=7000l+1001p+7k$. Mivel az összegekben minden tag osztható 7-tel, ezért a hatjegyű számok is oszthatóak 7-tel.

Statisztika:

129 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	73 versenyző.
5 pontot kapott:	6 versenyző.
4 pontot kapott:	11 versenyző.
3 pontot kapott:	14 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

A KöMaL 2010. decemberi matematika feladatai