A K. 289. feladat (2011. március)

K. 289. Ha egy háromjegyű számnak elhagyjuk a középső számjegyét, akkor pontosan a hetedét kapjuk. Melyik ez a háromjegyű szám?

(6 pont)

A beküldési határidő 2011. április 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A háromjegyű szám $\displaystyle N=\overline{abc}$, akkor a feladat szerint $\displaystyle \overline{abc}=7\overline{ac}$, azaz $\displaystyle N$ 7-tel osztható, másrészről legfeljebb $\displaystyle 7\cdot 99=693$, azaz $\displaystyle a\le 6$, így $\displaystyle N\le 7\cdot 69=483$. Innen $\displaystyle a\le 4$, azaz $\displaystyle N\le 7\cdot 49=343$. Tehát $\displaystyle a\le 3$, így $\displaystyle n\le 7\cdot 39=273$, ezért $\displaystyle a\le 2$ és $\displaystyle N\le 7\cdot 29=203$. Ha $\displaystyle a=2$, akkor $\displaystyle N=203$ lehet csak, mert nálánál kisebb, de 199-nél nagyobb, 7-tel osztható szám nincs, de $\displaystyle 203\ne 7\cdot 23$. Végül $\displaystyle a=1$ lehet. Mivel $\displaystyle N\ge 100$, ezért $\displaystyle \overline{1c}\ge 15$, másrészről $\displaystyle c$ és $\displaystyle 7c$ utolsó számjegye megegyezik, ezért $\displaystyle c=5$ lehet csak. Így $\displaystyle N=7\cdot 15=105$ valóban megfelel a feladat feltételeinek.

Statisztika:

173 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	79 versenyző.
5 pontot kapott:	21 versenyző.
4 pontot kapott:	33 versenyző.
3 pontot kapott:	16 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	7 dolgozat.

A KöMaL 2011. márciusi matematika feladatai