A K. 294. feladat (2011. március)

K. 294. Keressünk legalább két olyan, különböző hosszúságú, értelmes magyar szót, amelynek betűi pontosan 20-féleképpen rendezhetők sorba. A sorbarendezésnél az egyforma betűket nem különböztetjük meg egymástól.

(6 pont)

A beküldési határidő 2011. április 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha a szót alkotó betűk mind különbözőek, akkor az \(\displaystyle n\) betűs szó betűit \(\displaystyle n!\)-féleképpen rendezhetjük sorba. Mivel \(\displaystyle 3!=6<20<24=4!\), ezért a megfelelő szavakban vannak azonos betűk. Ha egy betű \(\displaystyle k\)-szor fordul elő a szóban, akkor a különféle sorbarendezések száma \(\displaystyle k\)-ad része lesz, mintha azokat a betűket megkülönböztettük volna. Mivel 20 felírható \(\displaystyle \frac{5!}{3!}=\frac{6!}{3!\cdot 3!}\), ezért keresünk egy 5 betűs szót, melyet 3 egyforma és két különböző betű alkot és egy 6 betűs szót, melynek két különböző betűből áll, mindkettőt háromszor használjuk fel. Az első esetre jó példa: "Lilla", a másodikra "etette".

Statisztika:

115 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	75 versenyző.
5 pontot kapott:	6 versenyző.
4 pontot kapott:	10 versenyző.
3 pontot kapott:	17 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2011. márciusi matematika feladatai