![]() |
A K. 302. feladat (2011. október) |
K. 302. Melyek azok a természetes számok, amelyek harmadik és negyedik hatványa együtt az összes számjegyet tartalmazza pontosan egyszer?
(6 pont)
A beküldési határidő 2011. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Mivel 10 különböző természetes szám van, így olyan számot kell keresnünk, aminek köbe és negyedik hatványa számjegyeinek száma összesen 10. A számnak 17-nél nagyobbnak kell lennie, mert 173=4913 4-jegyű, 174=83521 pedig 5-jegyű, ami csak 9 számjegy. A 183=5832 még szintén 4-jegyű, de 184=104976 már 6-jegyű. A két számban együtt pedig minden számjegy pontosan egyszer fordul elő! Azonban lehet, hogy akad más jó szám is. A 19, 20, 21 hatványaiban a számjegyek számának összege megfelelne, ám nem szerepel az összes számjegy (és így van, ami pedig többször is). 223=10648, pedig már 5-jegyű, 224=234256 meg 6-jegyű, így ez és az ennél nagyobb számok már nem jöhetnek szóba.
Statisztika:
222 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: 91 versenyző. 5 pontot kapott: 29 versenyző. 4 pontot kapott: 39 versenyző. 3 pontot kapott: 9 versenyző. 2 pontot kapott: 31 versenyző. 1 pontot kapott: 5 versenyző. 0 pontot kapott: 11 versenyző. Nem versenyszerű: 7 dolgozat.
A KöMaL 2011. októberi matematika feladatai
|