A K. 302. feladat (2011. október)

K. 302. Melyek azok a természetes számok, amelyek harmadik és negyedik hatványa együtt az összes számjegyet tartalmazza pontosan egyszer?

(6 pont)

A beküldési határidő 2011. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel 10 különböző természetes szám van, így olyan számot kell keresnünk, aminek köbe és negyedik hatványa számjegyeinek száma összesen 10. A számnak 17-nél nagyobbnak kell lennie, mert \(\displaystyle 17^3 = 4913\) 4-jegyű, \(\displaystyle 17^4 = 83521\) pedig 5-jegyű, ami csak 9 számjegy. A \(\displaystyle 18^3 = 5832\) még szintén 4-jegyű, de \(\displaystyle 18^4 = 104976\) már 6-jegyű. A két számban együtt pedig minden számjegy pontosan egyszer fordul elő! Azonban lehet, hogy akad más jó szám is. A 19, 20, 21 hatványaiban a számjegyek számának összege megfelelne, ám nem szerepel az összes számjegy (és így van, ami pedig többször is). \(\displaystyle 22^3 = 10648\), pedig már 5-jegyű, \(\displaystyle 22^4 = 234256\) meg 6-jegyű, így ez és az ennél nagyobb számok már nem jöhetnek szóba.

Statisztika:

222 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	91 versenyző.
5 pontot kapott:	29 versenyző.
4 pontot kapott:	39 versenyző.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	31 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	11 versenyző.
Nem versenyszerű:	7 dolgozat.

A KöMaL 2011. októberi matematika feladatai