A K. 309. feladat (2011. november)

K. 309. A síkot két egyenes négy szögtartományra osztja. Nem feltétlenül ebben a sorrendben, fokokban mérve ezek nagysága: 5x-9, 4x+27, x+y-30, y-x+3z. Mekkorák lehetnek a szögek?

(6 pont)

A beküldési határidő 2011. december 12-én LEJÁRT.

Megoldás. 1) Ha az \(\displaystyle 5x–9^\circ\) és a \(\displaystyle 4x+27^\circ\) nagyságú szög egymással szemben fekszik, akkor mivel csúcsszögek, egyenlők, amiből \(\displaystyle x=36^\circ\), a szögek pedig \(\displaystyle 171^\circ\)-osak. Így a másik két szög egyaránt \(\displaystyle 9^\circ\)-os kell legyen, ahonnan \(\displaystyle x+y–30^\circ=9^\circ\)-ból \(\displaystyle 36^\circ+y–30^\circ=9^\circ,\ y=3^\circ\). Valamint az \(\displaystyle y–x+3z=9^\circ\)-ból \(\displaystyle 3^\circ–36^\circ+3z=9^\circ,\ z=14^\circ\).

2) Ha az \(\displaystyle 5x–9^\circ\) és a \(\displaystyle 4x+27^\circ\) nagyságú szög egymás mellett fekszik, akkor \(\displaystyle 180^\circ\)-ra egészítik ki egymást, amiből \(\displaystyle x=18^\circ\), a szögek pedig \(\displaystyle 81^\circ\) és \(\displaystyle 99^\circ\)-osak. Így a másik két szög is ekkora. Azonban abból, hogy melyik melyik, újabb két eset áll elő:

2a) Ha \(\displaystyle 81^\circ=x+y–30^\circ\), akkor \(\displaystyle 81^\circ=18^\circ+y–30^\circ-ból y=93^\circ\). Ekkor \(\displaystyle 99^\circ=y–x+3z\), behelyettesítve \(\displaystyle 99^\circ=93^\circ–18^\circ+3z\), ahonnan \(\displaystyle z=8^\circ\).

2b) Ha \(\displaystyle 99^\circ=x+y–30^\circ\), akkor \(\displaystyle 99^\circ=18^\circ+y–30^\circ\)-ból \(\displaystyle y=111^\circ\). Ekkor \(\displaystyle 81^\circ=y–x+3z\), behelyettesítve \(\displaystyle 81^\circ=111^\circ–18^\circ+3z\), ahonnan \(\displaystyle z=–4^\circ\) lenne, ami nyilván nem lehet.

Összefoglalva két megoldást kaptunk: \(\displaystyle x=36^\circ,\ y=3^\circ,\ z=14^\circ\) és \(\displaystyle x=18^\circ,\ y=93^\circ,\ z=8^\circ\).

Statisztika:

206 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	73 versenyző.
5 pontot kapott:	51 versenyző.
4 pontot kapott:	6 versenyző.
3 pontot kapott:	50 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2011. novemberi matematika feladatai