A K. 314. feladat (2011. december)

K. 314. Az ábrán az AQ, BR, CP, PM, QK és RL szakaszok felezőpontjai rendre P, Q, R, K, L és M.

Mekkora a KLM háromszög területe, ha az ABC háromszög területe 441 cm²?

(6 pont)

A beküldési határidő 2012. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Induljunk ki az $\displaystyle PQR$ és $\displaystyle KLM$ háromszögekből. A $\displaystyle KLM$ és $\displaystyle KRM$ háromszögek területe megegyezik, mert alapjuk ($\displaystyle LM$ és $\displaystyle RM$) egyforma és ezekhez tartozó magasságuk is megegyezik. A $\displaystyle KMR$ és $\displaystyle KPR$ háromszögek területe is ugyanezen okok miatt egyenlő ($\displaystyle KM=KP$ és ezekhez tartozó magasságuk közös). Hasonlóan, a háromszögeket kettesével tekintve (megrajzolva az $\displaystyle RK$, a $\displaystyle QM$ és a $\displaystyle PL$ szakaszokat), belátható, hogy az ábrán így található 7 háromszög területe egyenlő; így a $\displaystyle PQR$ háromszög területe a $\displaystyle KLM$ háromszög területének hétszerese. Ugyanez a kapcsolat az $\displaystyle ABC$ és a $\displaystyle PQR$ háromszögek területe között is. Vagyis $\displaystyle KLM$ területének $\displaystyle 49$-szerese az $\displaystyle ABC$ területe. Tehát a kérdéses terület: $\displaystyle 441 : 49 = 9 ~\text{\rm cm}^2$.

Statisztika:

133 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	86 versenyző.
5 pontot kapott:	12 versenyző.
4 pontot kapott:	10 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	13 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2011. decemberi matematika feladatai