 |
A K. 316. feladat (2011. december) |
K. 316. Keressük meg az összes olyan pozitív közönséges törtet, amelyet a -hoz adva az összeg pontosan 1, és a két tört számlálójában és nevezőjében együtt minden számjegy pontosan egyszer szerepel.
(6 pont)
A beküldési határidő 2012. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. \(\displaystyle 12/96=1/8\), azaz a \(\displaystyle 7/8\) bővített alakját keressük. Legyen a keresett bővítés \(\displaystyle 7x/8x\). A bővített alak számlálója és nevezője összesen 6 számjegyet tartalmaz. Mivel a \(\displaystyle 7/8\) \(\displaystyle 1\)-nél kisebb, ezért a bővített tört kétjegyű/négyjegyű vagy háromjegyű/háromjegyű alakú lehet. Mivel a \(\displaystyle 99/1000\) a legnagyobb olyan szám, ami kétjegyű/négyjegyű alakú és \(\displaystyle 7/8 > 99/1000\), így a számlálóban és a nevezőben is háromjegyű számnak kell állnia. Ha \(\displaystyle 7x\) és \(\displaystyle 8x\) háromjegyű, akkor \(\displaystyle 14 < x < 125\). A számjegyek, amiket fel kell még használnunk: 0, 3, 4, 5, 7, 8. Ezért a számláló (ami kisebb, mint a nevező), nagyobb, mint 300, a nevező pedig kisebb, mint 900. Tehát (mivel a 38, 39, 40, 41 és 42 nem megoldások) \(\displaystyle 42 < x < 113\). Foglaljuk táblázatba \(\displaystyle x\), és ennek megfelelően \(\displaystyle 7x\) és \(\displaystyle 8x\) lehetséges utolsó számjegyeit.
Így \(\displaystyle x\) értéke lehet: 45, 51, 55, 61, 65, 71, 75, 81, 85, 91, 95, 101, 105, 111. Ezeket kipróbálva összesen két megoldás adódik: \(\displaystyle (51\cdot7)/(51\cdot8) = 357/408\), és \(\displaystyle (105\cdot7)/(105\cdot8) = 735/840\).
Statisztika:
173 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Antal Zsófia, Bajnok Anna, Belényesi Máté, Csilling Tamás, Faragó Timea, Fekete Panna, Fülöp Erik, Gál István Marcell, Gnandt Balázs, Hartvig Áron, Hegyi Zoltán, Heszler András, Hódos Bálint, Holczer András, Jákli Aida Karolina, Jójárt Alexandra, Király 719 Ágnes, Koller Henrietta, Kovács 148 Dávid, Kovács 628 Márton, Maizl Noémi, Markó Gergely, Máthé Roland, Pál Balázs, Palkó Richárd, Pasztuhov Ágnes, Pátkai - Varga Ákos, Qian Lívia, Rátky Márton, Sziegl Benedek, Tamás Csongor, Tari Balázs, Tóth Ádám Bars, Tóth Adrián, Tóth László Gábor, Trinyik Flóra, Villám Kristóf, Virágh Anna. 5 pontot kapott: Biczó Zsolt, Csiszár Tamás, Iványi Blanka, Mándoki Sára, Máté Bálint, Porupsánszki István, Sipos-Vajda Eszter, Somogyi Zoltán, Szeidl Balázs Vince, Vásárhelyi Bence. 4 pontot kapott: 14 versenyző. 3 pontot kapott: 18 versenyző. 2 pontot kapott: 17 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 67 versenyző. Nem versenyszerű: 6 dolgozat.
A KöMaL 2011. decemberi matematika feladatai