A K. 341. feladat (2012. szeptember)

K. 341. Négy, egységnyi oldalú egybevágó négyzetet egységnyi szélességű folyosók választanak el egymástól, az ábrának megfelelően. Keressük meg az A-ból B-be vezető legrövidebb utat, ami érinti az összes négyzetet! (Az út során a négyzetek belsejébe nem mehetünk be.)

(6 pont)

A beküldési határidő 2012. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az ábra jelöléseit használva a bal alsó négyzet egyik oldalán, valamint a jobb felső négyzet egyik oldalán mindenképpen végig kell menni. Ennek során A-ból indulva C-be vagy D-be, B-ből indulva pedig E-be vagy F-be érkezünk. A szimmetria miatt elég megvizsgálni, hogy D-ből E-be vagy F-be vezet-e a rövidebb út.

Ha D-ből F-be akarunk menni, akkor először a jobb alsó, majd a bal felső négyzetet kell érintenünk. a „kerülő utakat" kizárva az ábrán láthatóhoz hasonlóan kell közlekednünk, először valamilyen K pontban érintve a jobb alsó, majd L pontban érintve a bal felső négyzetet.

Tükrözzük a DK és FL szakaszokat a négyzetek megfelelő oldalaira, így minden esetben az X és Y pontokat összekötő töröttvonalat kapunk, amely akkor lesz a legrövidebb, ha egyenes, azaz az út a négyzetek csúcsain át vezet. A jelzett út hossza egy 3 egység oldalú négyzet átlója, azaz .

Ha D-ből E-be akarunk menni, akkor hasonló utat kell bejárnunk, de a bal felső négyzet érintése után F helyett E-be kell eljutnunk. Ez nyilván még az E-hez legközelebb levő G pontból is hosszabb, mint F-be menni, így a megfelelő DE utak a minimális DF útnál hosszabbak lesznek.

Statisztika:

228 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Horváth 016 Gábor, Szathmári Balázs, Szlachányi Tádé, Szűcs Kilián Ádám.
5 pontot kapott:	Borbás András, Keszthelyi Szilvia, Ladányi Zsuzsanna, Németh Flóra Boróka, Sieben Bertilla, Szántó Benedek, Szűcs Áron Ábrahám.
4 pontot kapott:	4 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	59 versenyző.
1 pontot kapott:	109 versenyző.
0 pontot kapott:	37 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.

A KöMaL 2012. szeptemberi matematika feladatai