A K. 351. feladat (2012. november)

K. 351. Keressünk olyan TÚRTÚR alakú 49-cel osztható számokat, amelyek számjegyeiből képzett RÚTRÚT alakú számok is oszthatóak 49-cel.

(6 pont)

A beküldési határidő 2013. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel TÚRTÚR \(\displaystyle = 1001 \cdot\) TÚR, és \(\displaystyle 1001 = 143 \cdot 7\), így elég, ha a TÚR és a RÚT oszthatók 7-tel. Ha mindkettő osztható 7-tel, akkor a különbségüknek is oszthatónak kell lennie, azaz \(\displaystyle 100T + \)10Ú \(\displaystyle + R - (100R + 10\)Ú\(\displaystyle + T) = 99(T-R)\) is osztható 7-tel. 99 nem osztható 7-tel, így a zárójelben lévő kifejezésnek kell annak lennie, ami számjegyekről lévén szó három esetben lehet: \(\displaystyle T = 7\) és \(\displaystyle R = 0\), vagy \(\displaystyle T = 8\) és \(\displaystyle R = 1\), vagy \(\displaystyle T = 9\) és \(\displaystyle R = 2\). Az első esetben a RÚTRÚT nem lenne hatjegyű, így ez nem lehet, a másik kettőből: 861861 és 168168, illetve 952952 és 259259 a két szám.

Statisztika:

73 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Balog 6 Klaudia, Bauer Márton, Berekai Eszter, Bodonhelyi Anna, Bottlik Judit, Coulibaly Patrik, Garaba Flórián, Gema Szabolcs, Horváth 016 Gábor, Ivkovic Iván, Juhász 326 Dániel, Kaprinai Ádám, Kasó Ferenc, Kasó Gergő, Kis Levente, Kocsis Júlia, Márton Tamás, Matusek Márton, Pálfi Mária, Papp 535 Ágnes, Papvári Dániel, Petrás Tamás, Sevella Dénes, Szathmári Balázs, Szentgyörgyi Flóra, Szűcs Kilián Ádám, Szücs Patrícia, Tóth Bálint.
5 pontot kapott:	Baglyas Márton, Farkas Olivér, Ipolyszegi Gábor, Kasza Bence, Marticsek Réka, Stefics Attila, Szili Dániel, Tauber Boglárka.
4 pontot kapott:	8 versenyző.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.

A KöMaL 2012. novemberi matematika feladatai