 |
A K. 352. feladat (2012. november) |
K. 352. Készítsünk egy 5×5-ös táblázatot, és írjuk bele a számokat 1-től 25-ig balról jobbra, fentről lefelé. Cseréljük fel akárhányszor a sorokat, majd akárhányszor az oszlopokat. Az így ,,megkevert'' táblázat minden cellájának értékéhez adjunk 7-et, majd adjuk össze az egyik átlóban álló számokat. Bizonyítsuk be, hogy az eredmény mindig 100.
|
(6 pont)
A beküldési határidő 2012. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Az s. sor o. oszlopában eredetileg az \(\displaystyle 5(s – 1) + o\) érték van. Ehhez adunk 7-et, így \(\displaystyle 5(s – 1) + o + 7\) lesz belőle. Akárhogy is keveredjenek teljes sorok és oszlopok, azzal, hogy a végén a főátló elemeit adjuk össze, minden oszlopból és minden sorból egyetlen érték kerül az összegbe, azaz minden lehetséges s és o értékből egy-egy, csak mindig más párosításban. Pl.:
5(3 – 1) + 1 + 7 + 5(2 – 1) + 4 + 7 + 5(4 – 1) + 2 + 7 + 5(1 – 1) + 3 + 7 + 5(5 – 1) + 5 + 7
Ezt átrendezve:
\(\displaystyle 5(2 + 1 + 3 + 0 + 4) + (1 + 4 + 2 + 3 + 5) + 5 7 = 5(0 + 1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + 5 7 = 50 + 15 + 35 = 100\)
lesz az összeg minden esetben.
Statisztika:
128 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Balog 6 Klaudia, Bauer Márton, Bodonhelyi Anna, Borbás András, Bottlik Judit, Coulibaly Patrik, Csatári Jakab, Cserna Koppány Levente, Diósi Marcell, Galbács Márton, Ghyczy András, Ivkovic Iván, Juhász 326 Dániel, Kasza Bence, Kis Levente, Kocsis Júlia, Kocsis-Savanya Miklós, Kósa Szilárd, László Márton, Matusek Márton, Mészáros 01 Viktória, Mihálykó Péter, Németh Flóra Boróka, Nyul Flóra, Pálfi Mária, Papp 535 Ágnes, Pintér Gergő, Ratkovics Gábor, Somogyvári András, Stefics Attila, Szabó 11 Dániel, Szalai Tibor Viktor, Szántó Benedek, Szathmári Balázs, Szentgyörgyi Flóra, Szilágyi Botond, Szűcs Kilián Ádám, Tauber Boglárka, Turi Sára, Varga 123 Péter, Varga Liza, Záhonyi Petra. 5 pontot kapott: Horváth 016 Gábor, Koczka István Bertalan. 4 pontot kapott: 42 versenyző. 3 pontot kapott: 21 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 6 versenyző. 0 pontot kapott: 8 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2012. novemberi matematika feladatai