A K. 372. feladat (2013. február)

K. 372. Egy 10 cm oldalhosszúságú négyzetbe az átlókkal párhuzamos egyenesekkel rajzoltunk egy keresztet az ábrának megfelelően. A kereszt határait alkotó, a négyzeten belül haladó vonalak a csúcsoktól azonos távolságra metszik a négyzet oldalait. Mekkora a kereszt egy szárát meghatározó párhuzamos egyenesek távolsága, ha a kereszt területe 64 cm²?

(6 pont)

A beküldési határidő 2013. március 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A négyzet területe 100 $\displaystyle \rm{cm}^2$. A négyzetnek a kereszten kívüli része négy darab derékszögű háromszög, melyek (elforgatás nélkül) egy négyzetté tolhatók össze. Ennek területe 100 – 64 = 36 $\displaystyle \rm{cm}^2$, így oldalának hossza 6 cm. A nagy négyzet oldalából 4 cm marad a csúcsoktól vett távolságokra, tehát a kereszt szárát alkotó párhuzamosok a csúcsoktól 2 cm-re érnek ki a négyzet oldalaira. A keresett távolság így egy 2 cm befogójú, egyenlő szárú derékszögű háromszög átfogója, azaz $\displaystyle 2\sqrt2$ cm.

Statisztika:

128 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	93 versenyző.
5 pontot kapott:	13 versenyző.
4 pontot kapott:	3 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

A KöMaL 2013. februári matematika feladatai