A K. 383. feladat (2013. szeptember)

K. 383. Az ABC szabályos háromszög AB alapját meghosszabbítottuk az A csúcson túl az AB oldal hosszának kétötödével, és így a P pontot kaptuk. A P pontot összekötöttük az AC oldal A csúcstól számított második ötödölő pontjával, a Q ponttal. Az így kapott egyenes a CB egyenest az R pontban metszi. Milyen hosszú a CR, ha AP=2684?

(6 pont)

A beküldési határidő 2013. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. $\displaystyle PA=QA=\frac25\cdot AB=2684$, amiből egyrészt $\displaystyle AB=6710$, másrészt $\displaystyle APQ\angle=AQP\angle=\frac{180^{\circ}-60^{\circ}}{2}=30^{\circ}$ következik. Mivel $\displaystyle RQC\angle=AQP\angle=30^{\circ}$ és $\displaystyle QCR\angle=ACB\angle=60^{\circ}$, ezért $\displaystyle CRQ\angle=180^{\circ}-(RQC\angle+QCR\angle)=90^{\circ}$ és a $\displaystyle CRQ$ háromszög egy szabályos háromszög fele. Ebből következik, hogy $\displaystyle CR=QC/2=(AC-AQ)/2=(6710-2684)/2=4026/2=2013$.

Statisztika:

241 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	153 versenyző.
5 pontot kapott:	34 versenyző.
4 pontot kapott:	22 versenyző.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2013. szeptemberi matematika feladatai