Problem K. 388. (October 2013)
K. 388. The letters of the English alphabet (ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ) are arranged in a pyramid, such that each row contains one more letter than the previous row. When the letter Z is reached, it is followed by the letters A, B, C, ...again. In which rows will two consecutive rows first end with the letter M? In which row will a letter M first occur at the end of the row?
(6 pont)
Deadline expired on November 11, 2013.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Az M betűig 13 betű van, az ABC pedig 26 betűből áll, ami a 13 többszöröse. Így az első kérdésre a válasz egyszerű. Ha mindkét sor végén M betű áll, akkor a második M betű végű sorban minden betűnek ismétlődnie kell néhányszor, hogy ismét az M legyen az utolsó betű. A legegyszerűbb, ha egyszer ismétlődik minden, azaz 26 betű van a sorban, és így a 26. sorban vagyunk. Mivel \(\displaystyle 1+2+...+25=\frac{26\cdot25}{2}\) osztható 13-mal, így a 25. és 26. soroknál fordul elő először, hogy két egymást követő sor M-mel végződik.
A piramis \(\displaystyle n\)-edik sorának végén az ismétlődő ABCD...XYZABC... betűsor \(\displaystyle 1+2+…+n=\frac{n(n+1)}{2}\)-edik betűje áll. Az M az ABC-ben a 13. betű, és az ABC hossza \(\displaystyle 26=2\cdot13\), így egyrészt \(\displaystyle 13|\frac{n(n+1)}{2}\), másrészt ez utóbbi szám a 13-nak páratlan számú többszöröse kell, hogy legyen. Mivel 13 prímszám, így a legkisebb két eset az \(\displaystyle n=12\) és az \(\displaystyle n=13\). Ha \(\displaystyle n=12\), akkor \(\displaystyle \frac{n(n+1)}{2} =6\cdot13\), ami 13-nak páros számú többszöröse. Ha \(\displaystyle n=13\), akkor \(\displaystyle \frac{n(n+1)}{2} =7\cdot13\). Tehát a 13. sor végén áll először M betű.
Statistics:
192 students sent a solution. 6 points: 81 students. 5 points: 17 students. 4 points: 24 students. 3 points: 14 students. 2 points: 22 students. 1 point: 8 students. 0 point: 16 students. Unfair, not evaluated: 10 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, October 2013