A K. 393. feladat (2013. november)

K. 393. Vegyünk egy olyan szorzatot, amelynek minden tényezője 7. Kaphatunk-e így egy olyan 45 jegyű számot, amelyben az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számjegyekből rendre 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 darab van?

(6 pont)

A beküldési határidő 2013. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ebben a 45 jegyű számban a számjegyek összege:

\(\displaystyle 9\cdot1+8\cdot2+7\cdot3+6\cdot4+5\cdot5+4\cdot6+3\cdot7+2\cdot8+1\cdot9=9+16+21+24+25+24+21+16+9=165.\)

Mivel a számjegyek összege osztható 3-mal, ezért az eredeti számnak is oszthatónak kellene lenni 3-mal. De ez lehetetlen, mert az eredeti szorzat minden tényezője 7, és a 3 meg a 7 relatív prímek.

Vagyis ilyen 45 jegyű számot nem kaphatunk.

Statisztika:

137 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Babotán Márk, Banczik Zoltán Ádám, Békési Gergő Bendegúz, Bérdi Dorottya, Böndör Dániel, Csányi Dávid , Csapó Márton, Di Giovanni András, Döbröntei Dávid Bence, Erdélyi Janka, Fehér Aliz, Frim Levente, Gera Dóra, György Levente, Horváth 999 Viktória, Jakus Balázs István, Juhász 137 Szabolcs, Kamuti Harmat, Kedves Emerencia, Keresztes László, Király 106 Fanni, Klász Viktória, Knoch Júlia, Kovács Iván, Kovács Máté Barnabás, Mándoki László, Márton 654 Dávid, Mikulás Hanna, Moró Balázs, Nagy Csongor, Nguyen Nhat Minh, Nier Máté, Sebestény Márton, Souly Alexandra, Szalay Dorottya, Szondy Dániel, Tatai Mihály, Temesvári Máté, Tevesz Judit, Turi Soma, Varró Tamás Bence, Zsombó István.
5 pontot kapott:	20 versenyző.
4 pontot kapott:	21 versenyző.
3 pontot kapott:	25 versenyző.
2 pontot kapott:	16 versenyző.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2013. novemberi matematika feladatai