A K. 394. feladat (2013. november)

K. 394. Egy pozitív egész szám és két szomszédjának négyzetösszege felírható öt egymást követő egész szám összegeként. Hány darab ilyen háromjegyű szám van?

(6 pont)

A beküldési határidő 2013. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a megfelelő pozitív egész szám az \(\displaystyle a\). Ekkor:

\(\displaystyle (a-1)^{2}+a^{2}+(a+1)^{2}=(b-2)+(b-1)+b+(b+1)+(b+2),\)

ahol \(\displaystyle b\) is pozitív egész szám, különben a jobb oldal nem lenne pozitív. Ezt rendezzük egyszerűbb alakra:

\(\displaystyle 3a^{2}+2=5b.\)

A jobb oldal osztható öttel. A bal oldalon az \(\displaystyle a^{2}\) egy négyzetszám, ezért az utolsó számjegye csak 0, 1, 4, 5, 6 vagy 9 lehet. Ha a háromszorosát kettővel növeljük, akkor a végződés 2, 5, 4, 7, 0 vagy 9 lehet. Kétszer kaptunk öttel osztható esetet. Vagyis csak azok a számok lesznek jók, amelyeknek a négyzete 1-re, vagy 6-ra végződik. Ezek a számok 1-re, 4-re, 6-ra, illetve 9-re végződhetnek, és mindegyik ilyen jó számhoz van egy megfelelő \(\displaystyle b\) szám. A megfelelő háromjegyűek: 101, 104, 106, 109, 111, 114, 116, 119, …, 991, 994, 996, 999. Ez \(\displaystyle 4\cdot(99-10+1)=360\) darab szám.

Statisztika:

158 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	92 versenyző.
5 pontot kapott:	16 versenyző.
4 pontot kapott:	7 versenyző.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	12 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	10 dolgozat.

A KöMaL 2013. novemberi matematika feladatai