A K. 398. feladat (2013. december)

K. 398. A 135726 egy olyan hatjegyű szám, amelyben az ezresek helyén álló számjegy (az 5-ös) egyenlő a százezresek duplájának és a tízezreseknek az összegével (azaz 2^.1+3-mal). A százasok helyén álló számjegy (a 7-es) egyenlő a tízezresek duplájának és a százezreseknek az összegével (azaz 2^.3+1-gyel). A tízes helyiértéken lévő számjegy a százezresek, az egyes helyiértéken lévő számjegy pedig a tízezresek kétszeresével egyenlő. A példaként adott szám osztható hattal. Igaz-e, hogy az ilyen tulajdonságú számok mindegyike osztható hattal?

(6 pont)

A beküldési határidő 2014. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a százezres helyiértéken lévő számjegy $\displaystyle a$, a tízezres helyiértéken lévő pedig $\displaystyle b$. A feladat szövege szerint a hatjegyű szám számjegyei a következők lesznek: $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle 2a+b$, $\displaystyle 2b+a$, $\displaystyle 2a$, $\displaystyle 2b$. Ezek összege $\displaystyle 6a+6b=3(2a+2b)$, vagyis a számjegyek összege osztható 3-mal, ezért a szám is. Az egyes helyiértéken lévő számjegy $\displaystyle 2b$, tehát páros. Ezért a szám osztható kettővel. Mivel osztható hárommal és kettővel, ezért valóban az összes megfelelő hatjegyű szám osztható hattal.

Statisztika:

202 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	91 versenyző.
5 pontot kapott:	50 versenyző.
4 pontot kapott:	21 versenyző.
3 pontot kapott:	23 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2013. decemberi matematika feladatai