A K. 404. feladat (2014. január)

K. 404. Melyik az a legnagyobb háromjegyű szám, amelyik osztható számjegyei szorzatával?

(6 pont)

A beküldési határidő 2014. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Először pár általános szabályt vegyünk észre: ha van páros szám a számjegyek között, akkor párosnak kell lennie az utolsó számjegynek, hiszen a szorzat is páros lesz. 0 nem lehet a számjegyek között. Ezért ha a számban van 5-ös számjegy, vagyis a számjegyek szorzata, és így a szám is osztható 5-tel, akkor az utolsó helyen 5-ös áll (és páros számjegy nincs a számban). Nézzük először a 900-as számokat. Ekkor a számjegyek szorzata 9 többszöröse lesz, így a számjegyek összegének is oszthatónak kell lennie 9-cel. A fenti szabályok mellett így csak a 999, 918, 972, 936 számok jöhetnek szóba, de ezek egyike sem jó. A 800-as számok közötti megfelelő számnak 16 többszörösének kell lennie, hiszen az utolsó számjegy is páros kell, hogy legyen. A 800-nál nagyobb, de 899-nél kisebb 16 többszörösök: 816, 832, 848, 864, 880, 896. Az utolsó kettő azonnal kiesik a 0, illetve a 9 miatt (hiszen a számjegyek összege nem osztható 9-cel). A 832 sem jó, hiszen a számjegyek összege nem osztható 3-mal. Így három lehetőség marad, amik közül egyedül a 816 a jó, így ez a keresett szám.

Statisztika:

126 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Banczik Zoltán Ádám, Dehnhardt Tom Patrick, Klász Viktória, Knoch Júlia, Kocsis Endre Kende, Szepesvári Csongor, Temesvári Bence, Tóth Tamás, Vajda Alexandra.
5 pontot kapott:	Abonyi-Tóth Barbara, Bödör András, Döbröntei Dávid Bence, Krasznai Adél, Mándoki László, Mikulás Hanna, Novák Réka, Tatai Mihály, Zsombó István.
4 pontot kapott:	28 versenyző.
3 pontot kapott:	32 versenyző.
2 pontot kapott:	29 versenyző.
1 pontot kapott:	14 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.

A KöMaL 2014. januári matematika feladatai