A K. 405. feladat (2014. január)

K. 405. a) Melyek azok az egész számokból álló számhármasok, melyeknek tagjaira teljesül, hogy szorzatuk pozitív prímszám, és ha nagyság szerinti sorrendbe állítjuk őket, akkor a szomszédosok különbsége megegyezik?

b) Melyek azok az egész számokból álló számhármasok, melyeknek tagjaira teljesül, hogy szorzatuk egy pozitív prímszám kétszerese, és ha nagyság szerinti sorrendbe állítjuk őket, akkor a szomszédosok különbsége megegyezik?

(6 pont)

A beküldési határidő 2014. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. a) Három egész szám szorzata csak úgy lehet prím, ha szerepel közöttük a –1 és az 1 is. A három egész szám tehát a –1, 0, 1; a –3, –1, 1 vagy a –1, 1, 3 lehet. Ezek közül csak a (–3, –1, 1) tesz eleget a feltételeknek.

b) Jelölje p a pozitív prímszámot. A három szám közül vagy mindhárom pozitív, vagy pontosan egy pozitív, kettő pedig negatív. A számokra az alábbi lehetőségek adódnak. A három számot mindig nagyság szerint növekvő sorrendbe írjuk, a szomszédosok különbségét pedig d jelöli.

Tehát két ilyen számhármas van: (-5, -2, 1) és (1, 2, 3).

Statisztika:

151 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	69 versenyző.
5 pontot kapott:	30 versenyző.
4 pontot kapott:	8 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	25 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

A KöMaL 2014. januári matematika feladatai