 |
A K. 413. feladat (2014. február) |
K. 413. Adjuk meg az a és b számjegyeket úgy, hogy a következő egyenlőség igaz legyen:
ahol és
kétjegyű számokat jelöl.
(6 pont)
A beküldési határidő 2014. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. a és b pozitív (vagyis egyik sem lehet 0), hiszen mindkét szám kétjegyű. , mindkét oldalt megszorozva b(10a+b)-vel: a(10a+b)+(10b+a)b=2b(10a+b). Ebből 5a2+4b2-9ab=0. A bal oldal szorzattá bontható: (5a-4b)(a-b)=0. Tehát 5a=4b vagy a=b. Az első esetben 5|4b miatt csak b=5 lehet, és így a=4. A második esetben pedig a=b adódik.
Az átalakítások ekvivalensek voltak, tehát összesen tíz megfelelő számpár van: (a;b)=(4;5), (1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6), (7;7), (8;8), (9;9).
Statisztika:
145 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Agócs Noémi, Almási István Előd, Ardai István Tamás, Banczik Zoltán Ádám, Bödör András, Csapó Márton, Cseh Noémi, Döbröntei Dávid Bence, Hartung Éva, Hegyi Krisztina, Jakus Balázs István, Kamuti Harmat, Kedves Emerencia, Klász Viktória, Novák Réka, Szabó Alexandra, Szalay Dorottya, Szalay Máté Csongor, Szatmári Judit, Szepesvári Csongor, Sziklai Dávid, Török Attila, Vajda Alexandra, Veres Károly. 5 pontot kapott: 30 versenyző. 4 pontot kapott: 27 versenyző. 3 pontot kapott: 8 versenyző. 2 pontot kapott: 18 versenyző. 1 pontot kapott: 22 versenyző. 0 pontot kapott: 7 versenyző. Nem versenyszerű: 9 dolgozat.
A KöMaL 2014. februári matematika feladatai