A K. 414. feladat (2014. február)

K. 414. Egy sakkversenyen mindenki mindenkivel egy mérkőzést játszik. Két versenyző lemondta a részvételét, ezért a tervezettnél 17-tel kevesebb mérkőzésre kerül sor. Hány résztvevő lesz a lemondás után?

(6 pont)

A beküldési határidő 2014. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha az összes versenyző részt vett volna, akkor $\displaystyle \binom n2=\frac{n(n-1)}{2}$ mérkőzést játszottak volna le.

Mivel ketten lemondták, ezért csak $\displaystyle \binom{n-2}{2}=\frac{(n-2)(n-3)}{2}$ mérkőzés volt. Mivel ez 17-tel kevesebb, mint eredtileg tervezték, felírható a következő egyenlet:

$\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}-\frac{(n-2)(n-3)}{2}=17,$

amiből

$\displaystyle n^{2}-n-(n^{2}-5n+6)=34,$

vagyis

$\displaystyle 4n=40$

és így

$\displaystyle n=10$

következik.

Tehát a lemondás után 8 résztvevő lesz.

Statisztika:

186 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	89 versenyző.
5 pontot kapott:	33 versenyző.
4 pontot kapott:	17 versenyző.
3 pontot kapott:	16 versenyző.
2 pontot kapott:	27 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2014. februári matematika feladatai