A K. 419. feladat (2014. március)

K. 419. Hat egybevágó kör egy körgyűrűben úgy helyezkedik el, hogy mindegyikük érinti a körgyűrűt határoló köröket és a szomszédjait is. A körgyűrű területének hányadrészét fedik le ezek a körök?

(6 pont)

A beküldési határidő 2014. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A hat külső kör középpontja szabályos hatszöget alkot. Legyenek \(\displaystyle P\), \(\displaystyle R\) és \(\displaystyle S\) a kis körök érintési pontjai az ábra szerint. Mivel \(\displaystyle O_1OO_2\angle=60^{\circ}\), és \(\displaystyle OO_1=OO_2\), ezért az \(\displaystyle O_1OO_2\) háromszög szabályos. Így \(\displaystyle O_1O=O_1O_2\), azaz \(\displaystyle O_1P+PO=O_1R+RO_2\). Mivel \(\displaystyle O_1P=O_1R\), ebből \(\displaystyle PO=RO_2\) következik, tehát a belső kis kör sugara megegyezik a hat másik kör sugarával. Jelölje ezt a sugarat \(\displaystyle r\), a nagy kör sugarát pedig \(\displaystyle R\). Ekkor \(\displaystyle R=OT=OP+PO_1+O_1T=3r\).

A körgyűrű területét megkapjuk, ha a nagy kör területéből kivonjuk a belső kis kör területét: \(\displaystyle t_{\rm kgy}=(3r)^2\pi-r^2\pi=8r^2\pi\).

A hat kör területének összege pedig \(\displaystyle t_6=6r^2\pi\).

A kettő aránya: \(\displaystyle \frac{6r^2\pi}{8r^2\pi}=\frac34\).

Statisztika:

113 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	69 versenyző.
5 pontot kapott:	12 versenyző.
4 pontot kapott:	14 versenyző.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2014. márciusi matematika feladatai