A K. 419. feladat (2014. március)

K. 419. Hat egybevágó kör egy körgyűrűben úgy helyezkedik el, hogy mindegyikük érinti a körgyűrűt határoló köröket és a szomszédjait is. A körgyűrű területének hányadrészét fedik le ezek a körök?

(6 pont)

A beküldési határidő 2014. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A hat külső kör középpontja szabályos hatszöget alkot. Legyenek $\displaystyle P$, $\displaystyle R$ és $\displaystyle S$ a kis körök érintési pontjai az ábra szerint. Mivel $\displaystyle O_1OO_2\angle=60^{\circ}$, és $\displaystyle OO_1=OO_2$, ezért az $\displaystyle O_1OO_2$ háromszög szabályos. Így $\displaystyle O_1O=O_1O_2$, azaz $\displaystyle O_1P+PO=O_1R+RO_2$. Mivel $\displaystyle O_1P=O_1R$, ebből $\displaystyle PO=RO_2$ következik, tehát a belső kis kör sugara megegyezik a hat másik kör sugarával. Jelölje ezt a sugarat $\displaystyle r$, a nagy kör sugarát pedig $\displaystyle R$. Ekkor $\displaystyle R=OT=OP+PO_1+O_1T=3r$.

A körgyűrű területét megkapjuk, ha a nagy kör területéből kivonjuk a belső kis kör területét: $\displaystyle t_{\rm kgy}=(3r)^2\pi-r^2\pi=8r^2\pi$.

A hat kör területének összege pedig $\displaystyle t_6=6r^2\pi$.

A kettő aránya: $\displaystyle \frac{6r^2\pi}{8r^2\pi}=\frac34$.

Statisztika:

113 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	69 versenyző.
5 pontot kapott:	12 versenyző.
4 pontot kapott:	14 versenyző.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2014. márciusi matematika feladatai