A K. 426. feladat (2014. szeptember)

K. 426. Egy házi dolgozat háromféle típusú, összesen 100 kérdésből áll. Az igaz-hamis kérdések helyes megválaszolása 0,5 pontot, a feleletválasztós kérdéseké 3 pontot, az esszékérdéseké pedig 10 pontot ér darabonként. A dolgozatra összesen maximum 100 pontot lehet kapni. Melyik típusú kérdésből hány darab van a dolgozatban?

(6 pont)

A beküldési határidő 2014. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje $\displaystyle x$ az igaz-hamis kérdések, $\displaystyle y$ a feleletválasztós kérdések, és $\displaystyle z$ az esszékérdések számát, ahol $\displaystyle x$, $\displaystyle y$ és $\displaystyle z$ pozitív egész számok. A megadott összefüggések szerint $\displaystyle x + y + z = 100$, továbbá $\displaystyle 0,5x + 3y + 10z = 100$. Ez utóbbit 2-vel szorozva kapjuk, hogy $\displaystyle x + 6y + 20z = 200$, a bal- és jobboldalból $\displaystyle x + y + z$-t, illetve 100-at levonva adódik, hogy $\displaystyle 5y + 19z = 100$. Mivel $\displaystyle y$ és $\displaystyle z$ pozitív egész számok, és az 5 és a 100 osztható 5-tel, a 19 viszont nem, ezért $\displaystyle z$-nek is oszthatónak kell lennie 5-tel. Mivel 190>100, ezért csak $\displaystyle z = 5$ megfelelő, ekkor $\displaystyle y = 1$, tehát $\displaystyle x = 94$. Ez meg is felel a feltételeknek. Tehát összesen 94 db igaz-hamis, 1 db feleletválasztós, és 5 db esszékérdés volt a házi dolgozatban.

Statisztika:

122 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	53 versenyző.
5 pontot kapott:	11 versenyző.
4 pontot kapott:	10 versenyző.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	13 versenyző.
0 pontot kapott:	12 versenyző.
Nem versenyszerű:	8 dolgozat.

A KöMaL 2014. szeptemberi matematika feladatai