 |
A K. 427. feladat (2014. október) |
K. 427. Hányféleképpen tudunk kiválasztani csak 8-as számjegyből álló pozitív egész számokat úgy, hogy az összegük 1000 legyen?
(6 pont)
A beküldési határidő 2014. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás: Az 1000 osztható 8-cal, így mindent 8-cal osztva a kérdés átfogalmazható úgy, hogy hány + jelet kell 1-esek közé tenni, hogy az összeg 125 legyen. Ha 125 db 1-es közé összesen 124 db + jelet teszünk, az nyilván jó. A + jelek számát úgy lehet csökkenteni, ha 11 db 1-es helyett 11-et adunk az összeghez, vagy 111 db helyett 111-et. Nézzük meg, hány eset lehetséges!
I. típus: Csak 1-eseket használunk, ez 1 eset.
II. típus: Csak 1-eseket és 11-eseket használunk. Mivel \(\displaystyle 11\cdot11=121\), ezért a 11-esek száma 1-11-ig bármi lehet, ez 11 eset.
III. típus: Használunk 111-est. Ebből csak 1 darab lehet, a maradék szám öszege 14, amit 0 vagy 1 db 11-es használatával érhetünk el, ez tehát összesen 2 eset.
Összesen tehát 14 eset lehetséges.
Statisztika:
147 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Balázs Bence, Balbach Dominik, Bereknyei András, Braun Dániel, Csizmadia Róbert, Csuha Boglárka, Czémán Dávid, Encz Koppány, Farkas Ádám, Farkas Panka, Fekete Balázs Attila, Filip Krisztina, Hakk Bence Béla, Harsányi Benedek, Hohner Kata, János Zsuzsa Anna, Járomi Bence, Juhász Csaba, Kaló Eszter, Kerekes Bálint, Kollár Johanna, Korpás Isabel, Kubovics Márton, Kulcsár Simon, Lakatos Ágnes, Miklós Boglárka, Mohl Máté, Molnár Benedek Péter, Nagy Viktor, Németh Csilla Márta, Oravecz Janka Éva, Orova Katinka, Öcsi Rebeka, Páhoki Tamás, Péri Gergő Gábor, Posch Levente Ágoston, Rátkai Petra, Rimai 217 Dániel, Sepp Márton, Szabadkai Beatrix, Szakali Benedek, Szarka Álmos, Szilágyi Botond, Takács Nóra, Tamási Kristóf Áron, Thuróczy Mylan, Veliczky Barnabás, Wenczel Kata. 5 pontot kapott: 37 versenyző. 4 pontot kapott: 31 versenyző. 3 pontot kapott: 14 versenyző. 2 pontot kapott: 6 versenyző. 1 pontot kapott: 5 versenyző. Nem versenyszerű: 6 dolgozat.
A KöMaL 2014. októberi matematika feladatai