A K. 430. feladat (2014. október)

K. 430. Vezessük be a következő jelölést: \(\displaystyle 33335 = 3_{4}5_{1}\), azaz az alsó indexbe írt szám jelölje, hogy az adott számjegyből mennyi van egymás mellett (az alsó indexben csak pozitív egész szám állhat). Adjuk meg ekkor a következő összegben a betűk értékét: \(\displaystyle 1_{x}4_{y}3_{z}8_{w}+ 4_{p}8_{q}3_{r} = 5_{2}9_{3} 7_{3}2_{2} 1_{1}\).

(6 pont)

A beküldési határidő 2014. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A kérdés mindig az, hogy mikor kell az egyes számokban számjegyet váltanunk. Az utolsó számjegy mindkét számnál adott: \(\displaystyle 8 + 3 = 11\), ami jó is. Ezután vagy mindkét számnál maradnak a számjegyek, vagy mindkettőnél váltunk, mert csak így lesz az 1 maradékkal együtt az összeg végződése 2. Ha váltunk, akkor azonban nem fogunk tudni az összegben 7-est előállítani, hiszen (újabb váltástól függően) a tízes átlépésre is gondolva \(\displaystyle 1 + (4 {\rm ~vagy~} 3) + (4 {\rm ~vagy~} 8 ) \neq (7 {\rm ~vagy~} 17)\). Tehát eddig \(\displaystyle 888 + 333 = 1221\). Most nyilván az egyik számban váltani kell: \(\displaystyle 1 + 3 + 3 = 7\) vagy \(\displaystyle 1 + 8 + 8 = 17\). A második esetben lesz tízes átlépés, így marad mindkét számjegy: \(\displaystyle 888888 + 888333 = 1777221\). Viszont bajban vagyunk a következő, 9-es számjegy előállításánál \(\displaystyle 1 + (3 {\rm ~vagy~} 8) + (4 {\rm ~vagy~} 8 ) \neq (9 {\rm ~vagy~} 19)\). Marad az első eset: \(\displaystyle 3888 + 3333 = 7221\), ahol viszont nincs tízes átlépés, ezért az első számban újra váltani kell: \(\displaystyle 443888 + 333333 = 777221\). Most megoldható a 9-es, és a továbbiakban egyértelmű a számjegyek sorsa: \(\displaystyle 11111443888 + 44888333333 = 5599977221\). A megoldás tehát \(\displaystyle x = 5\), \(\displaystyle y = 2\), \(\displaystyle z =1\), \(\displaystyle w =3\), \(\displaystyle p = 2\), \(\displaystyle q = 3\), \(\displaystyle r = 6\).

Statisztika:

97 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Agócs Katinka, Ágoston Tamás, Csilling Eszter, Dömötör Emőke, Encz Koppány, Farkas Ádám, Farkas Lilla, Fazekas 15 Levente, Fekete Balázs Attila, Fekete Zsófia, János Zsuzsa Anna, Járomi Bence, Juhász Csaba, Katona Kitti, Kollár Johanna, Kostyál Domonkos, Kubovics Márton, Maksa Gergő, Márton Anna, Mészáros Melinda, Mihályházi Péter, Németh Csilla Márta, Orova Katinka, Öcsi Rebeka, Páhoki Tamás, Paulovics Péter, Perényi Gellért, Pongrácz Edina, Porkoláb Mercédesz, Rátkai Petra, Rimai 217 Dániel, Sipos Fanni Emma, Slenker Balázs, Szabadkai Beatrix, Szalay Gergő, Szarka Álmos, Szőcs Krisztina, Tamási Kristóf Áron, Tardos Virág, Thuróczy Mylan, Tószegi Fanni, Valkó Bence, Veliczky Barnabás, Wenhardt Kata.
5 pontot kapott:	10 versenyző.
4 pontot kapott:	12 versenyző.
3 pontot kapott:	19 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2014. októberi matematika feladatai