A K. 432. feladat (2014. október)

K. 432. Legyen egy derékszögű háromszög két befogójának hossza $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ egység, átfogójának hossza $\displaystyle c$ egység. Tudjuk, hogy $\displaystyle a+b=4+c$. Hogyan viszonyul egymáshoz a háromszög kerületének és területének mérőszáma?

(6 pont)

A beküldési határidő 2014. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A kerület $\displaystyle K = a+b+c = 4+c+c$, a terület $\displaystyle T = ab/2$, amit próbáljunk meg szintén $\displaystyle c$-vel kifejezni. Emeljük négyzetre az $\displaystyle a+b = 4+c$ összefüggést: $\displaystyle (a + b)^2 = (4 + c)^2$, a zárójeleket felbontva $\displaystyle a^2 + b^2 + 2ab = 16 + c^2 + 8c$. Felhasználva a Pitagorasz-tételt, mely szerint $\displaystyle a^2 + b^2 = c^2$, azt kapjuk, hogy $\displaystyle 2ab = 16 + 8c$. Mindkét oldalt 4-gyel osztva $\displaystyle ab/2 = 4 + 2c$ adódik. A bal oldali kifejezés a terület, a jobb oldali kifejezés pedig a kerület mérőszáma, így ezek megegyeznek.

Statisztika:

104 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	63 versenyző.
5 pontot kapott:	5 versenyző.
4 pontot kapott:	3 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	15 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	8 dolgozat.

A KöMaL 2014. októberi matematika feladatai