A K. 462. feladat (2015. március)

K. 462. \(\displaystyle a)\) \(\displaystyle f\) a valós számok halmazán értelmezett függvény. Tudjuk, hogy tetszőleges \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) esetén teljesül, hogy \(\displaystyle f(a)-f(b)=f(a\cdot b)\). Mennyi \(\displaystyle f(2015)\) értéke?

\(\displaystyle b)\) Van-e olyan, a valós számok halmazán értelmezett \(\displaystyle g\) függvény, melyre tetszőleges \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) esetén teljesül, hogy \(\displaystyle g(a) - g(b) = 2\cdot g(a\cdot b) - 2\)?

(6 pont)

A beküldési határidő 2015. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. a) Legyen \(\displaystyle a=0\). Ekkor a megadott összefüggésből minden \(\displaystyle b\)-re \(\displaystyle f(0)–f(b) = f(0)\), azaz \(\displaystyle f(b) = 0\). Tehát \(\displaystyle f(2015)=0\).

b) Legyen \(\displaystyle a=0\). Ekkor a megadott összefüggésből minden \(\displaystyle b\)-re \(\displaystyle g(0)–g(b) = 2g(0)–2\), azaz minden \(\displaystyle b\)-re \(\displaystyle g(b) = 2–g(0)\). Ebből \(\displaystyle b=0\) helyettesítéssel \(\displaystyle 2g(0)=2\), majd \(\displaystyle g(0)=1\) következik. Ekkor pedig \(\displaystyle g(b)=2-g(0)=2-1=1\). Ez a függvény konstans 1 függvény, ami valóban jó is: \(\displaystyle 1- 1 = 2\cdot 1 - 2\).

Statisztika:

30 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Agócs Katinka, Csuha Boglárka, Encz Koppány, Farkas Lilla, Fekete Balázs Attila, János Zsuzsa Anna, Koronczi Fanni, Kozma Dávid Márk, Nagy Marcell, Németh Csilla Márta, Paulovics Péter, Sisák László Sándor, Slenker Balázs, Sziráki Boglárka Tünde, Tamási Kristóf Áron, Veliczky Barnabás.
5 pontot kapott:	Ágoston Tamás, Kovács 124 Marcell, Kovács András, Páhoki Tamás, Pintér 345 Balázs, Szarka Álmos, Tóth 802 Máté.
4 pontot kapott:	3 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2015. márciusi matematika feladatai