A K. 464. feladat (2015. szeptember)

K. 464. Az iskolában a tanár azt a feladatot adta, hogy 1-től 1000-ig számoljanak el a tanulók. Egy számítási lépés során kétféle dolog közül választhatnak: az éppen aktuális eredményüket megszorozzák egy általuk előre kiválasztott egyjegyű $\displaystyle a$ számmal, vagy hozzáadnak 1-et. Melyik számot válasszuk $\displaystyle a$-nak, hogy a lehető legkevesebb lépésben teljesítsük a feladatot?

(6 pont)

A beküldési határidő 2015. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha $\displaystyle a=1$, akkor osztással csak visszakapjuk az eredeti számot, vagyis itt mindig csak kivonni érdemes. Ha $\displaystyle a=2$ és a szám is 2, akkor az osztás és a kivonás ugyanarra az eerdményre vezet. Egyéb esetekben: Haladjunk visszafelé a számolásban úgy, hogy ahol csak lehet, osszunk a-val; ha nem tudunk a-val osztani, akkor pedig vonjunk le 1-et az aktuális eredményből. (Ha osztunk $\displaystyle a$-val, akkor pl. az $\displaystyle na$ számból 1 lépésben eljutunk az $\displaystyle n$ számig, egyébként pedig egymás után sokszor 1-et kivonva, ami nyilván több lépést jelent) Nézzük meg, hogy a lehetséges értékeit tekintve melyik esetben hány lépésből tudjuk megoldani a feladatot.

a = 9 esetén: 1000 - 1 = 999 $\displaystyle {\rightarrow}$ 999 : 9 = 111 $\displaystyle {\rightarrow}$ 111- 3$\displaystyle {\cdot}$1 = 108 $\displaystyle {\rightarrow}$ 108 : 9 = 12 $\displaystyle {\rightarrow}$ 12 - 3$\displaystyle {\cdot}$1 = 9 $\displaystyle {\rightarrow}$ 9 : 9 = 1. Összesen 10 műveletet használtunk.

a = 8 esetén: 1000 : 8 = 125 $\displaystyle {\rightarrow}$ 125 - 5$\displaystyle {\cdot}$1 = 120 $\displaystyle {\rightarrow}$ 120 : 8 = 15 $\displaystyle {\rightarrow}$ 15 - 7$\displaystyle {\cdot}$1 = 8 $\displaystyle {\rightarrow}$ 8 : 8 = 1. Összesen 15 műveletet használtunk.

a = 7 esetén: 1000 - 6$\displaystyle {\cdot}$1 = 994 $\displaystyle {\rightarrow}$ 994 : 7 = 142 $\displaystyle {\rightarrow}$ 142- 2$\displaystyle {\cdot}$1 = 140 $\displaystyle {\rightarrow}$ 140 : 7 = 20 $\displaystyle {\rightarrow}$ 20 - 6$\displaystyle {\cdot}$1 = 14 $\displaystyle {\rightarrow}$ 14 : 7 = 2 $\displaystyle {\rightarrow}$ 2 - 1 = 1. Összesen 18 műveletet használtunk.

a = 6 esetén: 1000 - 4$\displaystyle {\cdot}$1 = 996 $\displaystyle {\rightarrow}$ 996 : 6 = 166 $\displaystyle {\rightarrow}$ 166 - 4$\displaystyle {\cdot}$1 = 162 $\displaystyle {\rightarrow}$ 162 : 6 = 27 $\displaystyle {\rightarrow}$ 27 - 3$\displaystyle {\cdot}$1 = 24 $\displaystyle {\rightarrow}$ 24 : 6 = 4 $\displaystyle {\rightarrow}$ 4 - 3$\displaystyle {\cdot}$1 = 1. Összesen 17 műveletet használtunk.

a = 5 esetén: 1000 : 5 = 200 $\displaystyle {\rightarrow}$ 200 : 5 = 40 $\displaystyle {\rightarrow}$ 40 : 5 = 8 $\displaystyle {\rightarrow}$ 8 - 3$\displaystyle {\cdot}$1 = 5 $\displaystyle {\rightarrow}$ 5 : 5 = 1. Összesen 7 műveletet használtunk.

a = 4 esetén: 1000 : 4 = 250 $\displaystyle {\rightarrow}$ 250 - 2$\displaystyle {\cdot}$1 = 248 $\displaystyle {\rightarrow}$ 248 : 4 = 62 $\displaystyle {\rightarrow}$ 62 - 2$\displaystyle {\cdot}$1 = 60 $\displaystyle {\rightarrow}$ 60 : 4 = 15 $\displaystyle {\rightarrow}$ 15 - 3$\displaystyle {\cdot}$1 = 12 $\displaystyle {\rightarrow}$ 12 : 4 = 3 $\displaystyle {\rightarrow}$ 3 -2$\displaystyle {\cdot}$1 = 1. Összesen 13 műveletet használtunk.

a = 3 esetén: 1000 - 1 = 999 $\displaystyle {\rightarrow}$ 999 : 3 = 333 $\displaystyle {\rightarrow}$ 333 : 3 = 111 $\displaystyle {\rightarrow}$ 111 : 3 = 37 $\displaystyle {\rightarrow}$ 37 - 1 = 36 $\displaystyle {\rightarrow}$ 36 : 3 = 12 $\displaystyle {\rightarrow}$ 12 : 3 = 4 $\displaystyle {\rightarrow}$ 4 - 1 = 3 $\displaystyle {\rightarrow}$ 3 : 3 = 1. Összesen 9 műveletet használtunk.

a = 2 esetén: 1000 : 2 = 500 $\displaystyle {\rightarrow}$ 500 : 2 = 250 $\displaystyle {\rightarrow}$ 250 : 2 = 125 $\displaystyle {\rightarrow}$ 125 - 1 = 124 $\displaystyle {\rightarrow}$ 124 : 2 = 62 $\displaystyle {\rightarrow}$ 62 : 2 = 31 $\displaystyle {\rightarrow}$ 31 - 1 = 30 $\displaystyle {\rightarrow}$ 30 : 2 = 15 $\displaystyle {\rightarrow}$ 15 - 1 = 14 $\displaystyle {\rightarrow}$ 14 : 2 = 7 $\displaystyle {\rightarrow}$ 7 - 1 = 6 $\displaystyle {\rightarrow}$ 6 : 2 = 3 $\displaystyle {\rightarrow}$ 3 - 1 = 2 $\displaystyle {\rightarrow}$ 2 : 2 = 1. Összesen 14 műveletet használtunk.

a = 1 esetén: 1000 - 999$\displaystyle {\cdot}$1 = 1. Összesen 999 műveletet használtunk.

Tehát a = 5 választásával tudjuk a legkevesebb lépésben elérni 1-ről indulva az 1000-et.

Statisztika:

152 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Barabás Bence, Debreczeni Tibor, Dobák Dániel, Hoffmann Balázs, Mészáros 916 Márton, Pálvölgyi Szilveszter, Póta Balázs, Szűcs Leó, Vas Miklós.
5 pontot kapott:	Barta Ákos, Dékány Barnabás, Farkas Norbert, Kertész Ferenc, Koleszár Panna, Mónos Péter, Németh 728 Ágnes Sára, Piller Ádám.
4 pontot kapott:	22 versenyző.
3 pontot kapott:	57 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	25 versenyző.
Nem versenyszerű:	9 dolgozat.

A KöMaL 2015. szeptemberi matematika feladatai