A K. 464. feladat (2015. szeptember)

K. 464. Az iskolában a tanár azt a feladatot adta, hogy 1-től 1000-ig számoljanak el a tanulók. Egy számítási lépés során kétféle dolog közül választhatnak: az éppen aktuális eredményüket megszorozzák egy általuk előre kiválasztott egyjegyű \(\displaystyle a\) számmal, vagy hozzáadnak 1-et. Melyik számot válasszuk \(\displaystyle a\)-nak, hogy a lehető legkevesebb lépésben teljesítsük a feladatot?

(6 pont)

A beküldési határidő 2015. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha \(\displaystyle a=1\), akkor osztással csak visszakapjuk az eredeti számot, vagyis itt mindig csak kivonni érdemes. Ha \(\displaystyle a=2\) és a szám is 2, akkor az osztás és a kivonás ugyanarra az eerdményre vezet. Egyéb esetekben: Haladjunk visszafelé a számolásban úgy, hogy ahol csak lehet, osszunk a-val; ha nem tudunk a-val osztani, akkor pedig vonjunk le 1-et az aktuális eredményből. (Ha osztunk \(\displaystyle a\)-val, akkor pl. az \(\displaystyle na\) számból 1 lépésben eljutunk az \(\displaystyle n\) számig, egyébként pedig egymás után sokszor 1-et kivonva, ami nyilván több lépést jelent) Nézzük meg, hogy a lehetséges értékeit tekintve melyik esetben hány lépésből tudjuk megoldani a feladatot.

a = 9 esetén: 1000 - 1 = 999 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 999 : 9 = 111 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 111- 3\(\displaystyle {\cdot}\)1 = 108 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 108 : 9 = 12 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 12 - 3\(\displaystyle {\cdot}\)1 = 9 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 9 : 9 = 1. Összesen 10 műveletet használtunk.

a = 8 esetén: 1000 : 8 = 125 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 125 - 5\(\displaystyle {\cdot}\)1 = 120 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 120 : 8 = 15 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 15 - 7\(\displaystyle {\cdot}\)1 = 8 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 8 : 8 = 1. Összesen 15 műveletet használtunk.

a = 7 esetén: 1000 - 6\(\displaystyle {\cdot}\)1 = 994 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 994 : 7 = 142 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 142- 2\(\displaystyle {\cdot}\)1 = 140 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 140 : 7 = 20 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 20 - 6\(\displaystyle {\cdot}\)1 = 14 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 14 : 7 = 2 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 2 - 1 = 1. Összesen 18 műveletet használtunk.

a = 6 esetén: 1000 - 4\(\displaystyle {\cdot}\)1 = 996 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 996 : 6 = 166 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 166 - 4\(\displaystyle {\cdot}\)1 = 162 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 162 : 6 = 27 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 27 - 3\(\displaystyle {\cdot}\)1 = 24 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 24 : 6 = 4 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 4 - 3\(\displaystyle {\cdot}\)1 = 1. Összesen 17 műveletet használtunk.

a = 5 esetén: 1000 : 5 = 200 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 200 : 5 = 40 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 40 : 5 = 8 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 8 - 3\(\displaystyle {\cdot}\)1 = 5 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 5 : 5 = 1. Összesen 7 műveletet használtunk.

a = 4 esetén: 1000 : 4 = 250 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 250 - 2\(\displaystyle {\cdot}\)1 = 248 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 248 : 4 = 62 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 62 - 2\(\displaystyle {\cdot}\)1 = 60 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 60 : 4 = 15 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 15 - 3\(\displaystyle {\cdot}\)1 = 12 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 12 : 4 = 3 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 3 -2\(\displaystyle {\cdot}\)1 = 1. Összesen 13 műveletet használtunk.

a = 3 esetén: 1000 - 1 = 999 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 999 : 3 = 333 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 333 : 3 = 111 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 111 : 3 = 37 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 37 - 1 = 36 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 36 : 3 = 12 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 12 : 3 = 4 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 4 - 1 = 3 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 3 : 3 = 1. Összesen 9 műveletet használtunk.

a = 2 esetén: 1000 : 2 = 500 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 500 : 2 = 250 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 250 : 2 = 125 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 125 - 1 = 124 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 124 : 2 = 62 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 62 : 2 = 31 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 31 - 1 = 30 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 30 : 2 = 15 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 15 - 1 = 14 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 14 : 2 = 7 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 7 - 1 = 6 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 6 : 2 = 3 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 3 - 1 = 2 \(\displaystyle {\rightarrow}\) 2 : 2 = 1. Összesen 14 műveletet használtunk.

a = 1 esetén: 1000 - 999\(\displaystyle {\cdot}\)1 = 1. Összesen 999 műveletet használtunk.

Tehát a = 5 választásával tudjuk a legkevesebb lépésben elérni 1-ről indulva az 1000-et.

Statisztika:

152 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Barabás Bence, Debreczeni Tibor, Dobák Dániel, Hoffmann Balázs, Mészáros 916 Márton, Pálvölgyi Szilveszter, Póta Balázs, Szűcs Leó, Vas Miklós.
5 pontot kapott:	Barta Ákos, Dékány Barnabás, Farkas Norbert, Kertész Ferenc, Koleszár Panna, Mónos Péter, Németh 728 Ágnes Sára, Piller Ádám.
4 pontot kapott:	22 versenyző.
3 pontot kapott:	57 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	25 versenyző.
Nem versenyszerű:	9 dolgozat.

A KöMaL 2015. szeptemberi matematika feladatai