A K. 472. feladat (2015. október)

K. 472. Mennyi az összege az összes olyan pozitív kétjegyű számnak, amelynek pontosan 12 osztója van?

(6 pont)

A beküldési határidő 2015. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az osztók számát a szám prímtényezős felbontásában szereplő kitevők eggyel növelt értékeinek szorzata adja, így meg kell vizsgálni, hogy a 12 hogyan állhat elő szorzat alakban: $\displaystyle 12 = 12\cdot1 = 6\cdot2 = 4\cdot3 = 3\cdot2\cdot2$. Ekkor a kétjegyű szám prímtényezős alakja ilyen lehet: $\displaystyle p^{11}$, $\displaystyle p^{5}q$, $\displaystyle p^3q^2$ vagy $\displaystyle p^2qr$. Az első esetben $\displaystyle 2^{11}$ is már négyjegyű, így ez nem lehet. A második esetben egyedül a 2 ötödik hatványa kétjegyű, ennek háromszorosa, 96 is még épphogy kétjegyű. A harmadik esetben $\displaystyle 2^33^2 = 72$ megfelelő, de $\displaystyle 2^23^3 = 108$ és $\displaystyle 2^3 5^2 = 200$ már nem. A negyedik esetben először a három legkisebb prímmel variálva a lehetséges kitevőket, két jó megoldást kapunk: $\displaystyle 2^2 3^1 5^1 = 60$ és $\displaystyle 2^1 3^2 5^1 = 90$. Ha a 2 kitevője a 2, akkor megpróbálhatunk még nagyobb prímeket is találni mellé, így kapjuk még a $\displaystyle 2^2 3^1 7^1 = 84$ megoldást. Több eset nincs, mert túl nagy számot kapnánk. Az összes pontosan 12 osztóval rendelkező kétjegyű szám összege tehát: $\displaystyle 96+72+90+60+84=402$.

Statisztika:

118 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Bachmann Laura Adrienne, Barabás Bence, Barta Ákos, Bevíz 132 Zoltán, Bognár Ádám, Csáfordi József, Debreczeni Tibor, Dékány Barnabás, Dobák Dániel, Forczek Bianka, Gárdonyi Csilla Dóra, Gilicze Márton, Gortka Bence, Halász Nóra, Hoffmann Balázs, Istenes Márton, Kárpáti Kristóf, Kertész Ferenc, Kiss 468 Péter, Kluèka Vivien, Kocsmár Martin, Kovács 161 Márton Soma, Kovács 576 Kristóf, Köpenczei Csenge, Máté 446 Dávid, Mónos Péter, Pálvölgyi Szilveszter, Piller Ádám, Pinke Jakab Zoltán, Pipis Panna, Pordány Emese, Póta Balázs, Rubovszky Cecília , Ruzsa Kata, Sal Dávid, Szántó Julianna, Szőke Dániel, Szűcs Leó, Vass Gábor Dávid.
5 pontot kapott:	29 versenyző.
4 pontot kapott:	17 versenyző.
3 pontot kapott:	21 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.

A KöMaL 2015. októberi matematika feladatai