A K. 484. feladat (2015. december)

K. 484. Írjuk 1-től \(\displaystyle n\)-ig a természetes számokat egy-egy kártyára. Melyik az a legkisebb \(\displaystyle n\), melyre akárhogy is osztjuk két csoportra a kártyákat, az egyikben lesz két kártya, amelyeken szereplő számok összege négyzetszám?

(6 pont)

A beküldési határidő 2016. január 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Kezdjük el kettéosztani a számokat, hogy egyik részben se legyen kettő összege négyzetszám, egyelőre csak 25-ig. Ha az A részben van az 1-es, akkor a másikban kell lennie a következőknek: \(\displaystyle 4 – 1 = 3\), \(\displaystyle 9 – 1 = 8\), \(\displaystyle 16 – 1 = 15\), \(\displaystyle 25 – 1 = 24\), … . Eddig tehát \(\displaystyle A = \{1\}\), \(\displaystyle B = \{3, 8, 15, 24\}\). Ami biztos nem lehet \(\displaystyle B\)-ben: \(\displaystyle 9 – 3 = 6\), \(\displaystyle 16 – 3 = 13\), \(\displaystyle 25 – 3 = 22\), \(\displaystyle 16 – 8 = 8\), \(\displaystyle 25 – 8 = 17\), \(\displaystyle 25 – 15 = 10\). Tehát: \(\displaystyle A = \{1, 6, 10, 13, 17, 22\}\), \(\displaystyle B = \{3, 8, 15, 24\}\). Viszont ekkor \(\displaystyle A\)-ban \(\displaystyle 6 + 10 = 16\) négyzetszám, tehát a 10 még sincs jó helyen. Ha áttesszük \(\displaystyle B\)-be, akkor ki kell vennünk onnan a 15-öt, illetve mindkét részből minden annál nagyobbat: \(\displaystyle A = \{1, 6, 13\}\), \(\displaystyle B = \{3, 8, 10\}\). Tehát \(\displaystyle n = 15\) esetén a feltétel már nem teljesíthető. Most próbáljuk a 14-ig hiányzó számokat kettéosztani. A 12 a \(\displaystyle B\)-be kell, így a 4 az \(\displaystyle A\)-ba, az 5 így a \(\displaystyle B\)-be, a 11 az \(\displaystyle A\)-ba. Most így állunk: \(\displaystyle A = \{1, 4, 6, 11, 13\}\), \(\displaystyle B = \{3, 5, 8, 10, 12\}\). Hiányzik a 2, 7, 9 és a 14. A 2 nem kerülhet egy helyre a 7-tel és a 14-gyel, viszont a 9-cel egy helyre kerülnek, mert az sem lehet együtt a 7-tel. A 14 nem kerülhet az \(\displaystyle A\)-ba, mert ott a 11, így az \(\displaystyle A\)-ban lesz a 2 és a 9, a \(\displaystyle B\)-ben a 7 és a 14. A két csoport tehát \(\displaystyle n = 14\) esetén létrehozható: \(\displaystyle A = \{1, 2, 4, 6, 9, 11, 13\}\), \(\displaystyle B = \{3, 5, 7, 8, 10, 12, 14\}\).

Statisztika:

76 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Barta Ákos, Bognár Ádám, Csóka Zoárd, Dékány Barnabás, Dobák Dániel, Farkas Norbert, Fekete Barnabás, Földvári Ádám, Gárdonyi Csilla Dóra, Gréczi Gergely Ádám, Hoffmann Balázs, Kárpáti Kristóf, Keltai Dóra, Kertész Ferenc, Kiss 468 Péter, Kiss 660 Anna, Kluèka Vivien, Kovács 161 Márton Soma, Kovács 439 Boldizsár, Kovács 576 Kristóf, Lénárt Martin, Magyar Gergely, Nagy Csaba Jenő, Nyitrai Boglárka, Pálvölgyi Szilveszter, Pinke Jakab Zoltán, Póta Balázs, Simon Dóra, Szántó Julianna, Varga 294 Ákos, Vida Kata, Zsótér Laura.
5 pontot kapott:	Koleszár Panna, Kun-Szabó Anna, Miskolczi Abigél, Patkós Viktória, Ruzsa Kata, Tóth Benedek.
4 pontot kapott:	7 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	17 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.

A KöMaL 2015. decemberi matematika feladatai