A K. 486. feladat (2015. december)

K. 486. Hány olyan ötjegyű pozitív egész szám van, melyben a számjegyek összege és szorzata is páros?

(6 pont)

A beküldési határidő 2016. január 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A számjegyek szorzata pontosan akkor páros, ha a számban van páros számjegy. A számjegyek összege pontosan akkor páros, ha a páratlan számjegyek száma 0, 2 vagy 4. Csupa páros számjegyből álló szám \(\displaystyle 4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 2500\) darab van.

Két páratlan számjegyet tartalmazó szám: ha az első számjegy páros, a páratlan számjegyek helyét 6-féleképpen választhatjuk ki, így: \(\displaystyle 6 \cdot (4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5) = 15 000\) lehetőség van. Ha az első számjegy páratlan, a másik páratlan számjegy helyét 4-féleképpen választhatjuk ki, így: \(\displaystyle 4 \cdot (5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5) = 12 500\) lehetőség van.

Négy páratlan számjegyet tartalmazó szám: Ha az első számjegy páros, \(\displaystyle 4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 2500\) lehetőség van. Ha az első számjegy páratlan, a többi páratlan számjegy helyét 4-féleképpen választhatjuk ki, így: \(\displaystyle 4 \cdot (5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5) = 12 500\) lehetőség van.

Tehát \(\displaystyle 2500 + 15 000 + 12 500 + 2500 + 12 500= 45 000\) ilyen szám van.

Másképp: Olyan ötjegyű szám nincs, amiben a számjegyek szorzata páratlan és a számjegyek összege páros. \(\displaystyle 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 3125\) olyan szám van, amiben a számjegyek szorzata páratlan és a számjegyek összege páratlan, azaz minden számjegye páratlan. Ha számjegyek szorzata páros és a számjegyek összege páratlan, akkor 1 vagy 3 páratlan számjegye van. Ha 1 páratlan számjegye van, akkor, ha az első számjegy páros, a páratlan számjegy helyét 4-féleképpen választhatjuk ki, így \(\displaystyle 4 \cdot ((4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5) = 10 000\) lehetőség van. Ha az első jegye páratlan, \(\displaystyle 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 3125\) lehetőség van. Ha 3 páratlan számjegye van, akkor, ha az első számjegy páros, a páratlan számjegyek helyét 4-féleképpen választhatjuk ki, így \(\displaystyle 4 \cdot ((4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5) = 10 000\) lehetőség van. Ha az első jegye páratlan, a többi páratlan számjegy helyét 6-féleképpen választhatjuk ki, így \(\displaystyle 6 \cdot (5 \cdot 5 \cdot5 \cdot 5 \cdot 5) = 18750\) lehetőség van. \(\displaystyle 90000 – (3125 + 10 000 + 3125 + 10000 + 18750 ) = 45 000\).

Statisztika:

90 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Aradi Sára Katalin, Barta Ákos, Bertók Zsanett, Bognár Ádám, Csáfordi József, Csóka Zoárd, Debreczeni Tibor, Dékány Barnabás, Dobák Dániel, Fekete Barnabás, Gortka Bence, Hoffmann Balázs, Keltai Dóra, Kiss 468 Péter, Kiss 660 Anna, Kluèka Vivien, Koleszár Panna, Kovács 161 Márton Soma, Kovács 576 Kristóf, Lénárt Martin, Marshall Tamás, Misik Márton, Mónos Péter, Németh 728 Ágnes Sára, Nyitrai Boglárka, Pálvölgyi Szilveszter, Pinke Jakab Zoltán, Pipis Panna, Póta Balázs, Rubovszky Cecília , Ruzsa Kata, Simon Dóra, Varga 294 Ákos, Vas Miklós, Zsótér Laura.
5 pontot kapott:	Farkas Norbert, Földvári Ádám, Gilicze Márton, Hegedűs András, Ireczky Dániel, Kertész Ferenc, Kocsmár Martin, Koltai Dániel, Mészáros 916 Márton, Nemes Balázs Boldizsár, Sal Dávid, Végvári Domonkos Ferenc.
4 pontot kapott:	10 versenyző.
3 pontot kapott:	17 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2015. decemberi matematika feladatai