A K. 488. feladat (2016. január)

K. 488. Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle a \ge n\), továbbá \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle n\) pozitív egész számok, akkor az

\(\displaystyle (a-1)(a-2)(a-3)\ldots (a-n) \)

szorzat osztható \(\displaystyle n\)-nel.

(6 pont)

A beküldési határidő 2016. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás: Mivel \(\displaystyle a{\geq} n\), ezért \(\displaystyle a = nb + c\), ahol \(\displaystyle n> c {\geq} 0\). Ha \(\displaystyle c {\neq} 0\), akkor \(\displaystyle a -c = nb\) biztosan szerepel a szorzatban, így az osztható \(\displaystyle n\)-nel. Ha \(\displaystyle c = 0\), akkor \(\displaystyle a = nb\), így a szorzat utolsó tényezője \(\displaystyle a - n = nb - n = n(b - 1)\), szintén osztható \(\displaystyle n\)-nel.

Statisztika:

86 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Aradi Sára Katalin, Bálint Szilárd, Barta Ákos, Bertók Zsanett, Csáfordi József, Csóka Zoárd, Csunderlik Dorka, Deák Viktória, Debreczeni Tibor, Dékány Barnabás, Dobák Dániel, Fekete Barnabás, Gilicze Márton, Hoffmann Balázs, Jankovits András, Kafka Viktor, Kávási Tamás, Keltai Dóra, Kiss 468 Péter, Koleszár Panna, Korecz Gábor, Kovács 161 Márton Soma, Kovács 576 Kristóf, Kovács 696 Levente, Marshall Tamás, Máté 446 Dávid, Mészáros 916 Márton, Misik Márton, Mónos Péter, Nyitrai Boglárka, Pinke Jakab Zoltán, Pipis Panna, Póta Balázs, Radvánszki Fanni, Rubovszky Cecília , Szántó Dániel, Tóth Benedek, Varga 294 Ákos, Varga Levente, Vida Kata, Zsótér Laura.
5 pontot kapott:	25 versenyző.
4 pontot kapott:	10 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2016. januári matematika feladatai